Calcolatore Spazio Colonna – Spazio Colonna di Matrice
Calcola lo spazio colonna e i vettori base di una matrice
Sommario
Come Usare
- Inserisci la tua matrice con righe separate da nuove linee
- Separa i valori in ogni riga con spazi
- Clicca su calcola per trovare lo spazio colonna
- Rivedi i vettori base e il rango
Cos'è lo Spazio Colonna?
Lo spazio colonna (o immagine) di una matrice A è l'insieme di tutte le possibili combinazioni lineari dei suoi vettori colonna. Rappresenta tutti i vettori che possono essere ottenuti moltiplicando la matrice per qualsiasi vettore.
Se A è una matrice m×n, lo spazio colonna è un sottospazio di ℝᵐ. La dimensione di questo sottospazio è chiamata rango della matrice.
Trovare una Base per lo Spazio Colonna
Per trovare una base per lo spazio colonna:
- Esegui la riduzione per righe sulla matrice per trovare le colonne pivot
- Le colonne pivot nella matrice originale formano una base per lo spazio colonna
- Il numero di colonne pivot è uguale al rango della matrice
Proprietà Chiave
- Il rango è uguale alla dimensione dello spazio colonna
- Lo spazio colonna contiene il vettore nullo
- Le operazioni di riga non cambiano la struttura dello spazio colonna
- Lo spazio colonna è il complemento ortogonale dello spazio nullo sinistro
Domande frequenti
- Qual è la differenza tra spazio colonna e spazio riga?
- Lo spazio colonna è lo span dei vettori colonna (sottospazio di ℝᵐ), mentre lo spazio riga è lo span dei vettori riga (sottospazio di ℝⁿ). Entrambi hanno la stessa dimensione (il rango), ma esistono in spazi diversi.
- Come si relaziona il rango allo spazio colonna?
- Il rango di una matrice è uguale alla dimensione del suo spazio colonna. Rappresenta il numero massimo di vettori colonna linearmente indipendenti nella matrice.
- Lo spazio colonna può essere vuoto?
- No, lo spazio colonna contiene sempre almeno il vettore nullo, rendendolo un sottospazio valido. Anche una matrice nulla ha uno spazio colonna (contenente solo il vettore nullo).