Calcolatore Matrice Aggiunta
Calcola la matrice aggiunta con passaggi
Come Usare
- Seleziona la dimensione della matrice (2×2 o 3×3)
- Inserisci gli elementi della matrice
- Fai clic su calcola per vedere la matrice aggiunta, la matrice dei cofattori e il determinante
- Rivedi la soluzione passo dopo passo
Cos'è una Matrice Aggiunta?
La matrice aggiunta (o cofattore trasposta classica) di una matrice quadrata è la trasposta della sua matrice dei cofattori. È un concetto chiave nell'algebra lineare utilizzato per trovare le inverse delle matrici e risolvere sistemi di equazioni lineari.
Formula Chiave
adj(A) = (matrice dei cofattori)ᵀ
L'inversa di una matrice A può essere calcolata come: A⁻¹ = adj(A) / det(A)
Come Calcolare la Matrice Aggiunta
Per Matrici 2×2
Data una matrice 2×2:
A = [[a, b], [c, d]]
L'aggiunta è:
adj(A) = [[d, -b], [-c, a]]
Basta scambiare gli elementi diagonali e cambiare i segni degli elementi fuori dalla diagonale.
Per Matrici 3×3
Passo 1: Calcola il cofattore per ogni elemento
Per ogni elemento aᵢⱼ, rimuovi la riga i e la colonna j, calcola il determinante della matrice 2×2 rimanente e moltiplica per (-1)^(i+j)
Passo 2: Crea la matrice dei cofattori da tutti i cofattori
Passo 3: Trasponi la matrice dei cofattori per ottenere l'aggiunta
Cofattori e Minori
Comprendere i cofattori è essenziale per calcolare la matrice aggiunta:
Minore
Il minore Mᵢⱼ dell'elemento aᵢⱼ è il determinante della matrice che rimane dopo aver rimosso la riga i e la colonna j.
Cofattore
Il cofattore Cᵢⱼ è calcolato come: Cᵢⱼ = (-1)^(i+j) × Mᵢⱼ
Il segno segue un modello a scacchiera partendo con + nell'angolo in alto a sinistra.
Applicazioni delle Matrici Aggiunte
Le matrici aggiunte hanno importanti applicazioni in matematica e ingegneria:
Usi Comuni
- Inversione di Matrici: Calcolare matrici inverse usando A⁻¹ = adj(A)/det(A)
- Regola di Cramer: Risolvere sistemi di equazioni lineari
- Grafica Computerizzata: Trasformazioni e proiezioni
- Fisica: Calcoli tensoriali e trasformazioni di coordinate
- Ingegneria: Analisi strutturale e sistemi di controllo
- Statistica: Operazioni con matrici di covarianza
Domande frequenti
- Qual è la differenza tra aggiunta e cofattore trasposta?
- Nel contesto delle matrici, 'aggiunta' e 'cofattore trasposta classica' si riferiscono alla stessa cosa: la trasposta della matrice dei cofattori. Tuttavia, 'aggiunta' può anche riferirsi alla trasposta coniugata nelle matrici complesse, quindi 'aggiunta' è preferibile per maggiore chiarezza.
- Come è correlata la matrice aggiunta all'inversa?
- L'aggiunta è utilizzata direttamente per trovare l'inversa: A⁻¹ = adj(A) / det(A). Questo funziona solo quando il determinante è diverso da zero. Se det(A) = 0, la matrice non ha inversa.
- Cosa succede se il determinante è zero?
- Se det(A) = 0, la matrice è singolare (non invertibile). L'aggiunta esiste ancora, ma non puoi usarla per trovare un'inversa. La matrice rappresenta una trasformazione lineare che collassa lo spazio.
- Perché trasponiamo la matrice dei cofattori?
- Trasporre la matrice dei cofattori assicura che la relazione A × adj(A) = det(A) × I sia valida, dove I è la matrice identità. Questa proprietà è fondamentale per usare l'aggiunta nell'inversione di matrici.