Calcolatore di Disequazioni di Valore Assoluto
Risolvi disequazioni di valore assoluto con passi
Come Usare
- Seleziona il tipo di disequazione (< o >)
- Inserisci il valore 'a' in |x - a|
- Inserisci la costante 'b' (deve essere positiva)
- Clicca su calcola per vedere la soluzione e la notazione di intervallo
Cosa sono le Disequazioni di Valore Assoluto?
Le disequazioni di valore assoluto coinvolgono il valore assoluto di un'espressione variabile confrontata con una costante. Il valore assoluto |x| rappresenta la distanza da zero su una retta numerica, sempre positivo o zero.
Due Tipi Principali
Minore di: |x - a| < b significa che x è entro b unità da a
Maggiore di: |x - a| > b significa che x è più di b unità lontano da a
Come Risolvere le Disequazioni di Valore Assoluto
Tipo 1: |x - a| < b
Questo crea una disequazione composta:
Passo 1: Scrivi come -b < x - a < b
Passo 2: Aggiungi a a tutte le parti: -b + a < x < b + a
Esempio: |x - 3| < 5 diventa -5 < x - 3 < 5, quindi -2 < x < 8
Tipo 2: |x - a| > b
Questo crea due disequazioni separate:
Passo 1: Scrivi come x - a < -b OPPURE x - a > b
Passo 2: Risolvi ciascuna: x < a - b OPPURE x > a + b
Esempio: |x - 3| > 5 dà x < -2 OPPURE x > 8
Notazione di Intervallo
La notazione di intervallo fornisce un modo compatto per esprimere insiemi di soluzioni:
Simboli
- (a, b) - Intervallo aperto: valori tra a e b, senza includere gli estremi
- [a, b] - Intervallo chiuso: valori tra a e b, includendo gli estremi
- ∪ - Unione: combina due o più intervalli
- ∞ - Infinito: si estende senza limite
Esempi
-2 < x < 8 → (−2, 8)
x < -2 o x > 8 → (−∞, −2) ∪ (8, ∞)
Applicazioni nel Mondo Reale
Le disequazioni di valore assoluto modellano situazioni che coinvolgono tolleranza, margini di errore e intervalli accettabili:
Usi Comuni
- Produzione: Le dimensioni dei pezzi devono essere entro la tolleranza (es., |d - 5| < 0,02 cm)
- Controllo Temperatura: Temperatura ambiente mantenuta entro un intervallo
- Controllo Qualità: Pesi dei prodotti entro limiti accettabili
- Fisica: Incertezza di misurazione e limiti di errore
- Statistica: Intervalli di confidenza e deviazioni standard
Domande frequenti
- Qual è la differenza tra |x - a| < b e |x - a| > b?
- Minore di (<) dà un singolo intervallo continuo di valori tra due limiti, mentre maggiore di (>) dà due intervalli separati che si estendono verso l'esterno da due limiti. Pensa a < come 'vicino a a' e > come 'lontano da a'.
- Perché la costante b deve essere positiva?
- Poiché i valori assoluti sono sempre non negativi, confrontarli con un numero negativo crea affermazioni impossibili (<) o sempre vere (>). Una costante positiva garantisce soluzioni significative.
- Come faccio a sapere quale tipo di disequazione usare?
- Usa < quando vuoi valori entro una certa distanza da un punto, e usa > quando vuoi valori al di fuori di una certa distanza. Ad esempio, temperatura entro ±5° usa <, mentre evitare una zona di pericolo usa >.
- Cosa significa la notazione di intervallo (a, b)?
- Le parentesi indicano intervalli aperti che non includono gli estremi. Quindi (−2, 8) significa tutti i numeri tra −2 e 8, ma non −2 o 8 stessi. Le parentesi quadre [ ] includerebbero gli estremi.