Dilatationskalkylator
Beräkna geometriska dilatationstransformationer med skalfaktorer
Innehållsförteckning
Hur man Använder
- Ange X-koordinaten för dilatationscentrum
- Ange Y-koordinaten för dilatationscentrum
- Ange X-koordinaten för den ursprungliga punkten
- Ange Y-koordinaten för den ursprungliga punkten
- Ange skalfaktorn (k > 1 förstora r, 0 < k < 1 minskar, k < 0 speglar)
- Klicka på Beräkna för att se den dilaterade punkten och transformationsdetaljer
Vad är Dilatation?
Dilatation är en transformation som producerar en bild som har samma form som originalet, men är av en annan storlek. En dilatation sträcker eller krymper den ursprungliga figuren baserat på en skalfaktor.
Varje dilatation har en centrumpunkt och en skalfaktor k. Centrum är en fast punkt i planet kring vilken alla punkter expanderas eller kontraheras. Skalfaktorn beskriver hur mycket figuren förstoras eller minskas.
Förstå Skalfaktor
| Skalfaktor (k) | Effekt | Exempel |
|---|---|---|
| k > 1 | Förstoring | k = 2 fördubblar avståndet från centrum |
| k = 1 | Ingen förändring | Bilden är identisk med originalet |
| 0 < k < 1 | Minskning | k = 0.5 halverar avståndet från centrum |
| k < 0 | Spegling och skalning | k = -1 speglar genom centrum |
| k = 0 | Ogiltig | Alla punkter kollapsar till centrum (ej tillåtet) |
Dilatationsformel
Formeln för dilatation är: P' = C + k(P - C)
Där:
- P' = (x', y') är den dilaterade punkten
- C = (cx, cy) är dilatationscentrum
- k är skalfaktorn
- P = (x, y) är den ursprungliga punkten
Utökad form: x' = cx + k(x - cx) och y' = cy + k(y - cy)
Egenskaper hos Dilatation
- Bevarar form (likformiga figurer)
- Bevarar vinkelmått
- Bevarar inte avstånd (såvida inte k = 1 eller k = -1)
- Parallella linjer förblir parallella
- Dilatationscentrum är den enda fasta punkten (såvida inte k = 1)
- Avstånd från centrum multipliceras med |k|
- Area multipliceras med k²
- Volym (i 3D) multipliceras med k³
Verkliga Tillämpningar
- Datorgrafik och bildskalning
- Arkitektur och skalmodeller
- Kartläsning och skalritningar
- Fotografi och zoomfunktioner
- Medicinsk bildbehandling (CT-skanningar, röntgen)
- Teknisk design och CAD-programvara
- Animation och specialeffekter
Vanliga frågor
- Vad händer när skalfaktorn är negativ?
- En negativ skalfaktor orsakar både en spegling genom dilatationscentrum och en storleksförändring. Till exempel speglar k = -2 punkten genom centrum och fördubblar dess avstånd från centrum.
- Kan dilatationscentrum vara vid origo?
- Ja, när centrum är vid origo (0, 0) förenklas dilatationsformeln till P' = kP, vilket gör beräkningarna enklare. Detta är ett vanligt specialfall.
- Är dilatation samma sak som skalning?
- Ja, dilatation och skalning är samma transformation. Båda termerna beskriver att förstora eller minska en figur med en skalfaktor i förhållande till en fast punkt.
- Vad är skillnaden mellan dilatation och translation?
- Dilatation ändrar storleken på en figur (och speglar den eventuellt), medan translation flyttar en figur utan att ändra dess storlek eller orientering. Dilatation har en centrumpunkt; translation har en riktning och ett avstånd.