Polär till Rektangulär Kalkylator – Konvertera Koordinater
Konvertera polära koordinater till rektangulär (kartesisk) form
Hur man Använder
- Ange radievärdet (r)
- Ange vinkelvärdet (θ)
- Välj om vinkeln är i grader eller radianer
- Se x- och y-koordinaterna och den komplexa talformen
Konvertera polära koordinater till rektangulär (kartesisk) form
Konvertera polära koordinater (r, θ) till rektangulära/kartesiska koordinater (x, y). Metod: x = r cos θ; y = r sin θ; θ = atan2(y,x). Omvandla grader till radianer före sinus och cosinus.
En punkt är (r, θ): r är en radiell koordinat med tecken och θ mäts moturs från positiva x-axeln; avståndet till origo är |r|.
Konverteringsformler
För att konvertera från polär (r, θ) till rektangulära koordinater (x, y):
- x = r × cos(θ)
- y = r × sin(θ)
För att konvertera från rektangulär (x, y) till polära koordinater (r, θ):
- r = √(x² + y²)
- θ = atan2(y,x) (med kvadrantjustering)
Koppling till Komplexa Tal
Polära koordinater är nära relaterade till komplexa tal. Ett komplext tal z = x + yi kan skrivas i polär form som z = r(cos θ + i sin θ) eller med Eulers formel som z = re^(iθ).
Denna koppling gör polär form särskilt användbar för multiplikation och division av komplexa tal, samt för att hitta rötter.
Vanliga Vinkelkonverteringar
| Grader | Radianer | cos(θ) | sin(θ) |
|---|---|---|---|
| 0° | 0 | 1 | 0 |
| 30° | π/6 | √3/2 | 1/2 |
| 45° | π/4 | √2/2 | √2/2 |
| 60° | π/3 | 1/2 | √3/2 |
| 90° | π/2 | 0 | 1 |
| 180° | π | -1 | 0 |
| 270° | 3π/2 | 0 | -1 |
Tillämpat exempel
- Punkt från radie och vinkel: r=2, θ=90° → (x,y)=(0,2).
Metod, exempel, avrundning och gränser
Metod: x = r cos θ; y = r sin θ; θ = atan2(y,x). Omvandla grader till radianer före sinus och cosinus.
Räkneexempel: r=2, θ=90° → (x,y)=(0,2).
Avrundning: x, y och vinkeln i radianer använder upp till 6 decimaler; vinkeln i grader använder 2 decimaler.
Gräns: Trigonometriska värden nära noll kan visas som noll efter avrundning.
Källa: OpenStax. https://openstax.org/books/calculus-volume-3/pages/1-3-polar-coordinates
Vanliga frågor
- När ska jag använda polära koordinater istället för rektangulära?
- Polära koordinater är ideala vid cirkulära eller roterande problem, som att beskriva banor, spiraler, eller vilken situation som helst där avstånd från en centralpunkt och vinkel är mer naturliga mått än x- och y-positioner.
- Kan radien vara negativ?
- Ja, en negativ radie betyder att punkten är i motsatt riktning. Punkten (-r, θ) är samma som (r, θ + 180°). Denna konvention används ibland i matematik men kan vara förvirrande, så positiva radier är vanligare.
- Hur konverterar jag grader till radianer?
- Multiplicera grader med π/180. Till exempel, 90° = 90 × π/180 = π/2 radianer. Omvänt, multiplicera radianer med 180/π för att få grader.
- Vad är förhållandet mellan polär form och komplexa tal?
- Ett komplext tal x + yi motsvarar punkten (x, y) i rektangulära koordinater, vilket är lika med (r, θ) i polär form där r = √(x² + y²) och θ = atan2(y,x). Detta skrivs som r∠θ eller r·e^(iθ).