Calculadora de Dilatación
Calcula transformaciones geométricas de dilatación con factores de escala
Tabla de Contenidos
Cómo Usar
- Ingresa la coordenada X del centro de dilatación
- Ingresa la coordenada Y del centro de dilatación
- Ingresa la coordenada X del punto original
- Ingresa la coordenada Y del punto original
- Ingresa el factor de escala (k > 1 amplía, 0 < k < 1 reduce, k < 0 refleja)
- Haz clic en Calcular para ver el punto dilatado y los detalles de transformación
¿Qué es la Dilatación?
La dilatación es una transformación que produce una imagen que tiene la misma forma que el original, pero es de un tamaño diferente. Una dilatación estira o encoge la figura original basándose en un factor de escala.
Cada dilatación tiene un punto central y un factor de escala k. El centro es un punto fijo en el plano sobre el cual todos los puntos se expanden o contraen. El factor de escala describe cuánto se amplía o reduce la figura.
Entendiendo el Factor de Escala
| Factor de Escala (k) | Efecto | Ejemplo |
|---|---|---|
| k > 1 | Ampliación | k = 2 duplica la distancia desde el centro |
| k = 1 | Sin cambio | La imagen es idéntica al original |
| 0 < k < 1 | Reducción | k = 0.5 reduce a la mitad la distancia desde el centro |
| k < 0 | Reflexión y escalado | k = -1 refleja a través del centro |
| k = 0 | Inválido | Todos los puntos colapsan al centro (no permitido) |
Fórmula de Dilatación
La fórmula para la dilatación es: P' = C + k(P - C)
Donde:
- P' = (x', y') es el punto dilatado
- C = (cx, cy) es el centro de dilatación
- k es el factor de escala
- P = (x, y) es el punto original
Forma expandida: x' = cx + k(x - cx) y y' = cy + k(y - cy)
Propiedades de la Dilatación
- Preserva la forma (figuras similares)
- Preserva las medidas de ángulos
- No preserva la distancia (a menos que k = 1 o k = -1)
- Las líneas paralelas permanecen paralelas
- El centro de dilatación es el único punto fijo (a menos que k = 1)
- La distancia desde el centro se multiplica por |k|
- El área se multiplica por k²
- El volumen (en 3D) se multiplica por k³
Aplicaciones en el Mundo Real
- Gráficos por computadora y escalado de imágenes
- Arquitectura y modelos a escala
- Lectura de mapas y dibujos a escala
- Fotografía y funciones de zoom
- Imágenes médicas (tomografías, rayos X)
- Diseño de ingeniería y software CAD
- Animación y efectos especiales
Preguntas frecuentes
- ¿Qué sucede cuando el factor de escala es negativo?
- Un factor de escala negativo causa tanto una reflexión a través del centro de dilatación como un cambio de tamaño. Por ejemplo, k = -2 refleja el punto a través del centro y duplica su distancia desde el centro.
- ¿Puede el centro de dilatación estar en el origen?
- Sí, cuando el centro está en el origen (0, 0), la fórmula de dilatación se simplifica a P' = kP, haciendo los cálculos más fáciles. Este es un caso especial común.
- ¿Es la dilatación lo mismo que el escalado?
- Sí, dilatación y escalado son la misma transformación. Ambos términos describen ampliar o reducir una figura por un factor de escala relativo a un punto fijo.
- ¿Cuál es la diferencia entre dilatación y traslación?
- La dilatación cambia el tamaño de una figura (y posiblemente la refleja), mientras que la traslación mueve una figura sin cambiar su tamaño u orientación. La dilatación tiene un punto central; la traslación tiene una dirección y distancia.