Calculadora de Matriz Adjunta
Calcule la matriz adjunta con pasos
Cómo Usar
- Seleccione el tamaño de la matriz (2×2 o 3×3)
- Ingrese los elementos de la matriz
- Haga clic en calcular para ver la matriz adjunta, la matriz de cofactores y el determinante
- Revise la solución paso a paso
¿Qué es una Matriz Adjunta?
La adjunta (o adjudicada clásica) de una matriz cuadrada es la transpuesta de su matriz de cofactores. Es un concepto clave en álgebra lineal utilizado para encontrar inversas de matrices y resolver sistemas de ecuaciones lineales.
Fórmula Clave
adj(A) = (matriz de cofactores)ᵀ
La inversa de una matriz A se puede calcular como: A⁻¹ = adj(A) / det(A)
Cómo Calcular la Matriz Adjunta
Para Matrices 2×2
Dada una matriz 2×2:
A = [[a, b], [c, d]]
La adjunta es:
adj(A) = [[d, -b], [-c, a]]
Simplemente intercambie los elementos diagonales y cambie los signos de los elementos fuera de la diagonal.
Para Matrices 3×3
Paso 1: Calcule el cofactor para cada elemento
Para cada elemento aᵢⱼ, elimine la fila i y la columna j, calcule el determinante de la matriz 2×2 restante y multiplique por (-1)^(i+j)
Paso 2: Cree la matriz de cofactores con todos los cofactores
Paso 3: Transponga la matriz de cofactores para obtener la adjunta
Cofactores y Menores
Comprender los cofactores es esencial para calcular la matriz adjunta:
Menor
El menor Mᵢⱼ del elemento aᵢⱼ es el determinante de la matriz que queda después de eliminar la fila i y la columna j.
Cofactor
El cofactor Cᵢⱼ se calcula como: Cᵢⱼ = (-1)^(i+j) × Mᵢⱼ
El signo sigue un patrón de tablero de ajedrez comenzando con + en la esquina superior izquierda.
Aplicaciones de las Matrices Adjuntas
Las matrices adjuntas tienen aplicaciones importantes en matemáticas e ingeniería:
Usos Comunes
- Inversión de Matrices: Calcular matrices inversas usando A⁻¹ = adj(A)/det(A)
- Regla de Cramer: Resolver sistemas de ecuaciones lineales
- Gráficos por Computadora: Transformaciones y proyecciones
- Física: Cálculos tensoriales y transformaciones de coordenadas
- Ingeniería: Análisis estructural y sistemas de control
- Estadística: Operaciones con matrices de covarianza
Preguntas frecuentes
- ¿Cuál es la diferencia entre adjunta y adjudicada?
- En el contexto de matrices, 'adjunta' y 'adjudicada clásica' se refieren a lo mismo: la transpuesta de la matriz de cofactores. Sin embargo, 'adjunta' también puede referirse a la transpuesta conjugada en matrices complejas, por lo que 'adjudicada' es preferible para mayor claridad.
- ¿Cómo se relaciona la matriz adjunta con la inversa?
- La adjunta se usa directamente para encontrar la inversa: A⁻¹ = adj(A) / det(A). Esto solo funciona cuando el determinante es diferente de cero. Si det(A) = 0, la matriz no tiene inversa.
- ¿Qué sucede si el determinante es cero?
- Si det(A) = 0, la matriz es singular (no invertible). La adjunta todavía existe, pero no se puede usar para encontrar una inversa. La matriz representa una transformación lineal que colapsa el espacio.
- ¿Por qué transponemos la matriz de cofactores?
- Transponer la matriz de cofactores asegura que la relación A × adj(A) = det(A) × I se mantenga, donde I es la matriz identidad. Esta propiedad es fundamental para usar la adjunta en la inversión de matrices.