Calculadora de Volumen de Paralelepípedo – Producto Triple Escalar
Calcula el volumen del paralelepípedo a partir de tres vectores arista
Tabla de Contenidos
Cómo Usar
- Ingresa los componentes x, y, z del vector a (primera arista)
- Ingresa los componentes x, y, z del vector b (segunda arista)
- Ingresa los componentes x, y, z del vector c (tercera arista)
- Haz clic en calcular para ver el resultado del volumen
¿Qué es un Paralelepípedo?
Un paralelepípedo es una figura tridimensional formada por seis paralelogramos. Es el análogo 3D de un paralelogramo. Cuando se define por tres vectores a, b y c que emanan de un vértice común, el volumen es igual al valor absoluto del producto triple escalar.
La fórmula del volumen es: V = |a · (b × c)|, donde b × c es el producto cruz y a · (b × c) es el producto punto de a con ese resultado.
El Producto Triple Escalar
El producto triple escalar a · (b × c) también puede calcularse como el determinante de una matriz 3×3 con los vectores a, b, c como filas (o columnas).
- Significado geométrico: El volumen con signo del paralelepípedo
- Signo: Positivo si a, b, c forman un sistema diestro; negativo si es zurdo
- Resultado cero: Indica que los tres vectores son coplanares (yacen en el mismo plano)
Aplicaciones
- Cristalografía: Cálculo de volúmenes de celdas unitarias en estructuras cristalinas
- Física: Cálculo de flujo y cantidades de campo
- Ingeniería: Cálculos de volumen en análisis estructural
- Gráficos por Computadora: Detección de colisiones 3D y cálculos espaciales
- Álgebra Lineal: Prueba de independencia lineal de vectores
Casos Especiales
- Caja rectangular: Cuando los vectores son mutuamente perpendiculares, volumen = |a| × |b| × |c|
- Cubo: Cuando los tres vectores tienen igual longitud y son perpendiculares
- Caso degenerado: Volumen = 0 cuando los vectores son coplanares
Preguntas frecuentes
- ¿Cuál es la diferencia entre un paralelepípedo y una caja rectangular?
- Una caja rectangular (cuboide) es un caso especial de paralelepípedo donde todos los ángulos son de 90 grados. Un paralelepípedo general puede tener caras que son paralelogramos no rectangulares con ángulos oblicuos.
- ¿Por qué el producto triple escalar puede ser negativo?
- El signo indica la orientación de los tres vectores. Un valor positivo significa que forman un sistema de coordenadas diestro, mientras que negativo significa zurdo. Para el volumen, tomamos el valor absoluto ya que el volumen siempre es positivo.
- ¿Qué significa si el volumen es cero?
- Un volumen cero indica que los tres vectores son coplanares—todos yacen en el mismo plano. Esto significa que no generan un espacio 3D y no pueden formar un paralelepípedo propio.
- ¿Cómo se relaciona esto con el determinante?
- El producto triple escalar es igual al determinante de la matriz 3×3 formada por los tres vectores. Esta conexión es fundamental en álgebra lineal y explica por qué el determinante mide el 'escalado de volumen' de las transformaciones lineales.