Calcolatore Decomposizione LU – Fattorizzare Matrici in L e U
Decomponi le matrici in fattori triangolari inferiore e superiore
Come Usare
- Seleziona la dimensione della matrice (2x2 o 3x3)
- Inserisci gli elementi della matrice
- Clicca su calcola per vedere la decomposizione LU
- Esamina le matrici L e U con verifica
Cos'è la Decomposizione LU?
La decomposizione LU (chiamata anche fattorizzazione LU) è un metodo di fattorizzazione di una matrice A nel prodotto di una matrice triangolare inferiore L e una matrice triangolare superiore U, tale che A = LU. La matrice triangolare inferiore ha tutti zeri sopra la diagonale, mentre la matrice triangolare superiore ha tutti zeri sotto la diagonale.
Questa decomposizione è fondamentale nell'algebra lineare numerica ed è ampiamente utilizzata per risolvere sistemi di equazioni lineari, calcolare determinanti e trovare inverse di matrici in modo efficiente.
Applicazioni della Decomposizione LU
- Risoluzione di sistemi di equazioni lineari (Ax = b)
- Calcolo efficiente dei determinanti delle matrici
- Ricerca delle inverse delle matrici
- Stabilità numerica negli algoritmi computazionali
- Simulazioni di ingegneria e fisica
Metodo di Doolittle
Questo calcolatore utilizza l'algoritmo di Doolittle, che imposta gli elementi diagonali di L a 1. L'algoritmo calcola sistematicamente gli elementi di U riga per riga e L colonna per colonna, garantendo che A = LU.
Domande frequenti
- Cosa significa se la decomposizione LU fallisce?
- La decomposizione LU senza pivoting fallisce quando si incontra un pivot nullo, il che significa che la matrice è singolare o la decomposizione richiede scambi di righe. In tali casi, dovrebbe essere utilizzata la decomposizione LU con pivoting parziale (PA = LU).
- Perché la decomposizione LU è utile?
- Una volta che una matrice è decomposta in L e U, risolvere sistemi di equazioni diventa molto più veloce. Invece di risolvere Ax = b direttamente, risolvi Ly = b (sostituzione in avanti) e poi Ux = y (sostituzione all'indietro), che è computazionalmente efficiente.
- Qual è la differenza tra le matrici L e U?
- L (Triangolare inferiore) ha elementi non nulli solo sulla e sotto la diagonale principale, con 1 sulla diagonale nel metodo di Doolittle. U (Triangolare superiore) ha elementi non nulli solo sulla e sopra la diagonale principale.