Calcolatore di Decomposizione QR – Fattorizzazione di Matrici
Decomponi una matrice in matrici Q (ortogonale) e R (triangolare superiore)
Sommario
Come Usare
- Imposta le dimensioni della matrice (righe e colonne)
- Inserisci i valori per ogni elemento della matrice
- Clicca su calcola per eseguire la decomposizione QR
- Visualizza le matrici Q e R risultanti
Cos'è la Decomposizione QR?
La decomposizione QR (chiamata anche fattorizzazione QR) è un modo di esprimere una matrice A come prodotto di due matrici: Q e R. La matrice Q è una matrice ortogonale (le sue colonne sono vettori ortonormali), e R è una matrice triangolare superiore.
La decomposizione si scrive come A = QR, dove Q ha colonne ortonormali (Q^T Q = I) e R ha zeri sotto la sua diagonale principale.
Il Processo di Gram-Schmidt
Questo calcolatore usa il processo di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt per calcolare la decomposizione QR. Il processo funziona:
- Prendendo ogni colonna di A in sequenza
- Sottraendo le proiezioni sui vettori ortonormali precedentemente calcolati
- Normalizzando il risultato per ottenere un vettore unitario
- Registrando i coefficienti di proiezione nella matrice R
Proprietà di Q e R
Matrice Q (Ortogonale):
- Le colonne sono ortonormali (vettori unitari perpendicolari)
- Q^T Q = I (matrice identità)
- Preserva le lunghezze dei vettori e gli angoli
Matrice R (Triangolare Superiore):
- Tutte le voci sotto la diagonale principale sono zero
- Le voci diagonali sono le norme dei vettori ortogonalizzati
- Le voci fuori diagonale sono coefficienti di proiezione
Applicazioni della Decomposizione QR
- Risoluzione di problemi ai minimi quadrati lineari
- Calcolo di autovalori (algoritmo QR)
- Risoluzione di sistemi di equazioni lineari
- Elaborazione del segnale e compressione dati
- Algoritmi di apprendimento automatico
Domande frequenti
- Qual è la differenza tra decomposizione QR e LU?
- La decomposizione QR produce una matrice ortogonale Q e triangolare superiore R, mentre la decomposizione LU produce una triangolare inferiore L e triangolare superiore U. QR è più stabile numericamente ed è preferita per problemi ai minimi quadrati.
- Qualsiasi matrice può essere decomposta in QR?
- Qualsiasi matrice reale con colonne linearmente indipendenti può essere decomposta in QR. Per matrici con colonne linearmente dipendenti, può essere usata una versione modificata chiamata QR con pivoting di colonne.
- Cosa significa che Q è ortogonale?
- Una matrice ortogonale Q ha la proprietà che Q^T Q = I (matrice identità). Questo significa che le sue colonne sono vettori unitari mutuamente perpendicolari, e moltiplicare per Q preserva lunghezze e angoli.
- Come viene usata la decomposizione QR nei minimi quadrati?
- Per il problema dei minimi quadrati Ax ≈ b, la decomposizione QR lo trasforma in Rx = Q^T b, che è facile da risolvere per sostituzione all'indietro poiché R è triangolare superiore.