Calcolatore Derivata Parziale – Calcolo Multivariabile
Calcola le derivate parziali di funzioni con più variabili
Sommario
Come Usare
- Inserisci la tua funzione usando x, y, z come variabili (es., x^2+y^2)
- Specifica rispetto a quale variabile derivare
- Opzionalmente inserisci le coordinate del punto per valutare la derivata
- Fai clic su calcola per vedere la derivata parziale e i passaggi
Cos'è una Derivata Parziale?
Una derivata parziale misura come una funzione cambia quando una variabile cambia mantenendo costanti tutte le altre variabili. Per una funzione f(x, y), la derivata parziale rispetto a x, scritta ∂f/∂x, tratta y come una costante.
Le derivate parziali sono fondamentali nel calcolo multivariabile e sono usate per analizzare funzioni di più variabili, trovare tassi di variazione e ottimizzare funzioni.
Notazione e Simboli
- ∂f/∂x: Derivata parziale di f rispetto a x
- fₓ: Notazione a pedice per la derivata parziale
- ∂²f/∂x∂y: Derivata parziale mista
- ∇f: Gradiente (vettore di tutte le derivate parziali)
Regole di Derivazione
- Regola della potenza: ∂/∂x(xⁿ) = n·xⁿ⁻¹
- Regola della costante: ∂/∂x(c) = 0 per qualsiasi costante c
- Regola della somma: ∂/∂x(f + g) = ∂f/∂x + ∂g/∂x
- Regola del prodotto: ∂/∂x(f·g) = f·∂g/∂x + g·∂f/∂x
- Regola della catena: ∂/∂x(f(g)) = f'(g)·∂g/∂x
Applicazioni
- Ottimizzazione: Trovare massimi e minimi di funzioni multivariabili
- Machine Learning: Discesa del gradiente per addestrare reti neurali
- Fisica: Equazioni del calore, equazioni d'onda, fluidodinamica
- Economia: Analisi marginale, funzioni di utilità
- Ingegneria: Analisi delle sollecitazioni, sistemi di controllo
Domande frequenti
- Qual è la differenza tra derivate parziali e ordinarie?
- Una derivata ordinaria si applica a funzioni di una variabile. Una derivata parziale si applica a funzioni di più variabili e misura il cambiamento rispetto a una variabile trattando le altre come costanti.
- Cos'è il gradiente?
- Il gradiente ∇f è un vettore che contiene tutte le derivate parziali di una funzione. Per f(x,y), il gradiente è (∂f/∂x, ∂f/∂y). Punta nella direzione di massima crescita.
- Cosa sono le derivate parziali miste?
- Le derivate parziali miste comportano la derivazione rispetto a variabili diverse in sequenza, come ∂²f/∂x∂y. Per il teorema di Schwarz, l'ordine di solito non importa: ∂²f/∂x∂y = ∂²f/∂y∂x per la maggior parte delle funzioni.
- Come vengono usate le derivate parziali nel machine learning?
- Le derivate parziali sono essenziali per la discesa del gradiente, l'algoritmo usato per addestrare le reti neurali. Il gradiente ci dice come regolare ogni parametro per minimizzare la funzione di perdita.