Calcolatore di Dilatazione
Calcola trasformazioni geometriche di dilatazione con fattori di scala
Sommario
Come Usare
- Inserisci la coordinata X del centro di dilatazione
- Inserisci la coordinata Y del centro di dilatazione
- Inserisci la coordinata X del punto originale
- Inserisci la coordinata Y del punto originale
- Inserisci il fattore di scala (k > 1 ingrandisce, 0 < k < 1 riduce, k < 0 riflette)
- Fai clic su Calcola per vedere il punto dilatato e i dettagli della trasformazione
Cos'è la Dilatazione?
La dilatazione è una trasformazione che produce un'immagine della stessa forma dell'originale, ma di dimensioni diverse. Una dilatazione allunga o restringe la figura originale in base a un fattore di scala.
Ogni dilatazione ha un punto centrale e un fattore di scala k. Il centro è un punto fisso nel piano attorno al quale tutti i punti vengono espansi o contratti. Il fattore di scala descrive quanto la figura viene ingrandita o ridotta.
Comprendere il Fattore di Scala
| Fattore di Scala (k) | Effetto | Esempio |
|---|---|---|
| k > 1 | Ingrandimento | k = 2 raddoppia la distanza dal centro |
| k = 1 | Nessun cambiamento | L'immagine è identica all'originale |
| 0 < k < 1 | Riduzione | k = 0.5 dimezza la distanza dal centro |
| k < 0 | Riflessione e scalatura | k = -1 riflette attraverso il centro |
| k = 0 | Non valido | Tutti i punti collassano al centro (non consentito) |
Formula di Dilatazione
La formula per la dilatazione è: P' = C + k(P - C)
Dove:
- P' = (x', y') è il punto dilatato
- C = (cx, cy) è il centro di dilatazione
- k è il fattore di scala
- P = (x, y) è il punto originale
Forma espansa: x' = cx + k(x - cx) e y' = cy + k(y - cy)
Proprietà della Dilatazione
- Preserva la forma (figure simili)
- Preserva le misure degli angoli
- Non preserva la distanza (a meno che k = 1 o k = -1)
- Le linee parallele rimangono parallele
- Il centro di dilatazione è l'unico punto fisso (a meno che k = 1)
- La distanza dal centro è moltiplicata per |k|
- L'area è moltiplicata per k²
- Il volume (in 3D) è moltiplicato per k³
Applicazioni nel Mondo Reale
- Grafica computerizzata e scalatura di immagini
- Architettura e modelli in scala
- Lettura di mappe e disegni in scala
- Fotografia e funzioni di zoom
- Imaging medico (TAC, raggi X)
- Progettazione ingegneristica e software CAD
- Animazione ed effetti speciali
Domande frequenti
- Cosa succede quando il fattore di scala è negativo?
- Un fattore di scala negativo causa sia una riflessione attraverso il centro di dilatazione che un cambiamento di dimensione. Ad esempio, k = -2 riflette il punto attraverso il centro e raddoppia la sua distanza dal centro.
- Il centro di dilatazione può essere all'origine?
- Sì, quando il centro è all'origine (0, 0), la formula di dilatazione si semplifica in P' = kP, rendendo i calcoli più facili. Questo è un caso speciale comune.
- La dilatazione è la stessa cosa della scalatura?
- Sì, dilatazione e scalatura sono la stessa trasformazione. Entrambi i termini descrivono l'ingrandimento o la riduzione di una figura per un fattore di scala relativo a un punto fisso.
- Qual è la differenza tra dilatazione e traslazione?
- La dilatazione cambia la dimensione di una figura (e possibilmente la riflette), mentre la traslazione sposta una figura senza cambiarne la dimensione o l'orientamento. La dilatazione ha un punto centrale; la traslazione ha una direzione e una distanza.