Calcolatore di Divergenza – Divergenza di Campo Vettoriale
Calcola la divergenza di un campo vettoriale 3D
Come Usare
- Inserisci i coefficienti per la componente P (coefficiente di x, y, z)
- Inserisci i coefficienti per la componente Q (coefficiente di x, y, z)
- Inserisci i coefficienti per la componente R (coefficiente di x, y, z)
- Inserisci il punto (x, y, z) dove vuoi valutare la divergenza
- Fai clic su calcola per vedere il risultato della divergenza
Cos'è la Divergenza?
La divergenza è un operatore vettoriale che misura l'ampiezza di una sorgente o di un pozzo di un campo vettoriale in un dato punto. In altre parole, ti dice quanto un campo vettoriale si sta 'espandendo' o 'convergendo' in quel punto.
Per un campo vettoriale 3D F(x,y,z) = (P, Q, R), la divergenza è definita come: div F = ∂P/∂x + ∂Q/∂y + ∂R/∂z
Interpretazione Fisica
La divergenza ha importanti interpretazioni fisiche:
- Divergenza positiva: Il campo agisce come una sorgente (fluido che scorre verso l'esterno)
- Divergenza negativa: Il campo agisce come un pozzo (fluido che scorre verso l'interno)
- Divergenza zero: Il campo è incomprimibile (il volume è conservato)
- Nella dinamica dei fluidi: la divergenza misura il tasso di espansione o compressione
- Nell'elettromagnetismo: la divergenza è correlata alla densità di carica (legge di Gauss)
Come Calcolare la Divergenza
Per calcolare la divergenza di un campo vettoriale F = (P, Q, R):
- Prendi la derivata parziale di P rispetto a x: ∂P/∂x
- Prendi la derivata parziale di Q rispetto a y: ∂Q/∂y
- Prendi la derivata parziale di R rispetto a z: ∂R/∂z
- Somma queste tre derivate parziali: div F = ∂P/∂x + ∂Q/∂y + ∂R/∂z
Ad esempio, se F(x,y,z) = (2x, 3y, 4z), allora div F = 2 + 3 + 4 = 9.
Applicazioni della Divergenza
- Dinamica dei fluidi: modellazione del flusso incomprimibile
- Elettromagnetismo: legge di Gauss ed equazioni di Maxwell
- Trasferimento di calore: analisi del flusso di calore e distribuzione della temperatura
- Grafica computerizzata: simulazione di fluidi ed effetti di fumo
- Modellazione meteorologica: analisi dei sistemi di pressione atmosferica
- Ingegneria: analisi degli sforzi e deformazione dei materiali
Il Teorema della Divergenza
Il teorema della divergenza (chiamato anche teorema di Gauss) mette in relazione il flusso di un campo vettoriale attraverso una superficie chiusa con la divergenza del campo nel volume racchiuso dalla superficie:
∫∫∫ (div F) dV = ∫∫ F · n dS
Questo teorema è fondamentale in fisica e ingegneria, collegando proprietà locali (divergenza) a proprietà globali (flusso attraverso un confine).
Domande frequenti
- Cosa significa divergenza positiva?
- Una divergenza positiva significa che il campo vettoriale agisce come una sorgente in quel punto - i vettori del campo puntano verso l'esterno, come un fluido che scorre da una sorgente. L'ampiezza ti indica quanto è forte la sorgente.
- Qual è la differenza tra divergenza e rotore?
- La divergenza misura quanto un campo vettoriale si espande o converge (producendo uno scalare), mentre il rotore misura quanto ruota (producendo un vettore). La divergenza usa la notazione ∇·F, il rotore usa ∇×F.
- La divergenza può essere negativa?
- Sì, una divergenza negativa indica che il campo agisce come un pozzo - i vettori puntano verso l'interno verso quel punto. Ad esempio, uno scarico in un flusso di fluido avrebbe divergenza negativa.
- Cosa significa divergenza zero?
- Una divergenza zero significa che il campo è incomprimibile o privo di divergenza in quel punto. La quantità di campo che entra in un piccolo volume è uguale alla quantità che esce. Questo è importante per modellare fluidi incomprimibili e campi magnetici.