Calcolatore di Indipendenza Lineare – Verifica Indipendenza dei Vettori
Verifica se i vettori sono linearmente indipendenti o dipendenti.
Sommario
Come Usare
- Inserisci ogni vettore su una riga separata con componenti separati da virgole o spazi
- Per esempio: 1, 2, 3 su una riga e 4, 5, 6 sulla successiva
- Clicca su calcola per determinare se i vettori sono linearmente indipendenti
- Esamina il rango, il determinante (per matrici quadrate) e la RREF
Cos'è l'Indipendenza Lineare?
Un insieme di vettori è linearmente indipendente se nessun vettore nell'insieme può essere scritto come combinazione lineare degli altri. Equivalentemente, l'unica soluzione di c₁v₁ + c₂v₂ + ... + cₙvₙ = 0 è quando tutti i coefficienti c₁, c₂, ..., cₙ sono zero.
Se esiste almeno una combinazione non banale (alcuni coefficienti sono diversi da zero), i vettori sono linearmente dipendenti.
Come Verificare l'Indipendenza Lineare
- Forma una matrice con i vettori come righe (o colonne)
- Applica l'eliminazione di Gauss per ridurre alla forma a scalini
- Conta il numero di righe non nulle (il rango)
- Se il rango è uguale al numero di vettori, sono linearmente indipendenti
Per le matrici quadrate, puoi anche verificare il determinante: se det ≠ 0, i vettori sono indipendenti.
Applicazioni dell'Indipendenza Lineare
- Trovare basi per spazi vettoriali
- Risolvere sistemi di equazioni lineari
- Determinare se una trasformazione è invertibile
- Elaborazione del segnale e compressione dei dati
- Selezione delle caratteristiche nel machine learning
Domande frequenti
- Cosa significa se i vettori sono linearmente dipendenti?
- I vettori linearmente dipendenti contengono ridondanza—almeno un vettore può essere espresso come combinazione degli altri. Questo significa che non coprono tante dimensioni quanti sono i vettori.
- Possono più vettori della dimensione essere indipendenti?
- No. In uno spazio n-dimensionale, al massimo n vettori possono essere linearmente indipendenti. Qualsiasi insieme con più di n vettori deve essere dipendente.
- Qual è la relazione tra rango e indipendenza?
- Il rango di una matrice è uguale al numero massimo di righe (o colonne) linearmente indipendenti. Se hai k vettori e il rango è k, tutti i vettori sono indipendenti.