Calcolatore di Linearizzazione – Trova l'Approssimazione Lineare
Trova l'approssimazione lineare di una funzione in un punto.
Sommario
Come Usare
- Inserisci la tua funzione usando la notazione standard (es., x^2, sin(x), exp(x))
- Specifica il nome della variabile (predefinito è x)
- Inserisci il punto dove vuoi linearizzare la funzione
- Clicca su calcola per ottenere l'approssimazione lineare
Cos'è la Linearizzazione?
La linearizzazione è il processo di approssimazione di una funzione vicino a un punto usando la sua retta tangente. L'approssimazione lineare L(x) nel punto a è data da: L(x) = f(a) + f'(a)(x - a), dove f(a) è il valore della funzione e f'(a) è la derivata nel punto a.
Questa approssimazione funziona meglio per valori di x vicini ad a. Più x è lontano da a, meno precisa diventa l'approssimazione.
La Formula di Linearizzazione
- L(x) = f(a) + f'(a)(x - a)
- f(a) è la coordinata y del punto sulla curva
- f'(a) è la pendenza della retta tangente
- (x - a) rappresenta la distanza orizzontale dal punto
Applicazioni della Linearizzazione
- Approssimare funzioni complesse con funzioni lineari più semplici
- Stima degli errori nelle misurazioni
- Fisica: approssimazioni di piccoli angoli (sin(θ) ≈ θ)
- Ingegneria: analizzare sistemi vicino ai punti di equilibrio
- Economia: analisi marginale
Domande frequenti
- Quando è più precisa la linearizzazione?
- La linearizzazione è più precisa quando x è molto vicino al punto a. L'errore di approssimazione cresce man mano che ci si allontana da a, specialmente per funzioni con alta curvatura.
- Qual è la differenza tra linearizzazione e serie di Taylor?
- La linearizzazione è il polinomio di Taylor del primo ordine—usa solo il valore della funzione e la prima derivata. La serie di Taylor può includere termini di ordine superiore per maggiore precisione su intervalli più ampi.
- Posso linearizzare qualsiasi funzione?
- Puoi linearizzare qualsiasi funzione che sia derivabile nel punto di interesse. Se la funzione ha una discontinuità o un angolo in quel punto, la linearizzazione non è possibile lì.