Calcolatore del Metodo di Newton – Algoritmo di Ricerca delle Radici
Trova le radici delle funzioni usando l'iterazione Newton-Raphson.
Come Usare
- Inserisci la funzione f(x) usando x come variabile
- Inserisci la derivata f'(x) della funzione
- Fornisci una stima iniziale vicina alla radice attesa
- Imposta le iterazioni massime e la tolleranza
- Clicca su calcola per vedere l'approssimazione iterativa
Cos'è il Metodo di Newton?
Il Metodo di Newton, noto anche come metodo di Newton-Raphson, è una potente tecnica numerica per trovare le radici di una funzione. Utilizza l'idea che una funzione continua e differenziabile può essere approssimata da una retta tangente ad essa.
La formula di iterazione è: xₙ₊₁ = xₙ - f(xₙ)/f'(xₙ), dove f(x) è la funzione e f'(x) è la sua derivata.
Come Funziona?
Partendo da una stima iniziale x₀, il metodo migliora ripetutamente l'approssimazione:
- Valuta la funzione f(xₙ) nel punto corrente
- Valuta la derivata f'(xₙ) nel punto corrente
- Calcola la prossima approssimazione: xₙ₊₁ = xₙ - f(xₙ)/f'(xₙ)
- Ripeti finché la variazione è minore della tolleranza
Condizioni di Convergenza
Il Metodo di Newton converge quadraticamente quando:
- La stima iniziale è sufficientemente vicina alla radice
- La funzione è continuamente differenziabile
- La derivata è diversa da zero alla radice
- La funzione ha una radice semplice (molteplicità 1)
Il metodo può fallire o divergere se la derivata è zero, la stima iniziale è scarsa, o la funzione ha un comportamento complesso vicino alla radice.
Applicazioni
Il Metodo di Newton è ampiamente utilizzato in:
- Calcolo di radici quadrate e radici n-esime
- Risoluzione di equazioni non lineari
- Problemi di ottimizzazione (trovare punti critici)
- Grafica computerizzata e simulazioni fisiche
- Calcoli finanziari e ingegneria
Domande frequenti
- Come inserisco la funzione?
- Usa 'x' come variabile. Le operazioni supportate includono: +, -, *, /, ^ (potenza), sqrt, sin, cos, tan, log, exp. Per esempio, 'x^3 - 2*x + 1' o 'sin(x) - x/2'.
- Cosa fare se il metodo non converge?
- Prova una stima iniziale diversa più vicina alla radice attesa, aumenta il numero di iterazioni, o verifica se la derivata è zero vicino alla tua stima. Alcune funzioni potrebbero richiedere un trattamento speciale.
- Perché devo inserire la derivata?
- Il Metodo di Newton richiede la derivata per calcolare la retta tangente in ogni punto. La formula xₙ₊₁ = xₙ - f(xₙ)/f'(xₙ) usa la derivata per determinare la direzione e la dimensione del passo.
- Quale tolleranza dovrei usare?
- Una tolleranza di 0.0001 (10⁻⁴) è adatta per la maggior parte delle applicazioni. Per maggiore precisione, usa valori più piccoli come 10⁻⁸. La tolleranza determina quando l'iterazione si ferma in base alla variazione tra approssimazioni successive.