Calcolatore moltiplicatore di Lagrange
Ottimizza un obiettivo quadratico con un vincolo lineare.
Sommario
Come Usare
- Inserisci i coefficienti quadratici a, b, c per f(x, y) = ax^2 + by^2 + cxy.
- Imposta il vincolo lineare d·x + e·y = k.
- Esegui il calcolo per risolvere il sistema di Lagrange per x, y e λ.
- Esamina il punto ottimizzato e il valore dell'obiettivo sulla retta vincolante.
Come funziona il metodo di Lagrange
I moltiplicatori di Lagrange incorporano il vincolo nell'obiettivo aggiungendo λ per l'equazione di vincolo. I punti stazionari soddisfano contemporaneamente le equazioni del gradiente e il vincolo.
- Costruisci il lagrangiano L = f(x, y) + λ(d x + e y - k).
- Poni a zero le derivate parziali ∂L/∂x, ∂L/∂y e il vincolo.
- Risolvi il sistema lineare risultante per x, y e λ.
- Valuta l'obiettivo nel punto stazionario per giudicare il comportamento sul vincolo.
Ipotesi del modello in questa calcolatrice
- L'obiettivo è quadratico in x e y: ax^2 + by^2 + cxy.
- Esiste un solo vincolo di uguaglianza lineare d·x + e·y = k.
- Un punto stazionario unico esiste quando il sistema lineare è risolvibile.
- Se il determinante è zero, il metodo non fornisce una soluzione unica.
Usa questa configurazione per una rapida intuizione su quadratiche vincolate. Obiettivi più complessi o vincoli multipli richiedono un risolutore simbolico completo.
Domande frequenti
- Cosa succede se d ed e sono entrambi zero?
- Il vincolo diventa degenere e non limita l'obiettivo. Inserisci almeno un coefficiente diverso da zero nel vincolo per trovare un punto stazionario valido.
- Come faccio a sapere se questo punto è un minimo o un massimo?
- Lo strumento restituisce il punto stazionario sul vincolo. Per classificarlo, esamina la forma quadratica (ad esempio con gli autovalori dell'Hessiana) o testa punti vicini ammissibili.
- Posso estendere questo a più variabili?
- Il metodo si generalizza, ma questa calcolatrice si concentra su due variabili con un vincolo lineare per chiarezza. Per sistemi più grandi, applica le stesse equazioni di gradiente e vincolo con moltiplicatori aggiuntivi.