Calcolatore Polare a Rettangolare – Convertire Coordinate
Converti le coordinate polari in forma rettangolare (cartesiana)
Come Usare
- Inserisci il valore del raggio (r)
- Inserisci il valore dell'angolo (θ)
- Seleziona se l'angolo è in gradi o radianti
- Visualizza le coordinate x e y e la forma numero complesso
Converti le coordinate polari in forma rettangolare (cartesiana)
Converti le coordinate polari (r, θ) in coordinate rettangolari/cartesiane (x, y). Metodo: x = r cos θ; y = r sin θ; θ = atan2(y,x). Converti i gradi in radianti prima di seno e coseno.
Un punto è (r, θ): r è una coordinata radiale con segno e θ si misura in senso antiorario dall’asse x positivo; la distanza dall’origine è |r|.
Formule di Conversione
Per convertire da polare (r, θ) a coordinate rettangolari (x, y):
- x = r × cos(θ)
- y = r × sin(θ)
Per convertire da rettangolare (x, y) a coordinate polari (r, θ):
- r = √(x² + y²)
- θ = atan2(y,x) (con aggiustamento del quadrante)
Connessione con i Numeri Complessi
Le coordinate polari sono strettamente legate ai numeri complessi. Un numero complesso z = x + yi può essere scritto in forma polare come z = r(cos θ + i sin θ) o usando la formula di Eulero come z = re^(iθ).
Questa connessione rende la forma polare particolarmente utile per la moltiplicazione e divisione dei numeri complessi, così come per trovare le radici.
Conversioni di Angoli Comuni
| Gradi | Radianti | cos(θ) | sin(θ) |
|---|---|---|---|
| 0° | 0 | 1 | 0 |
| 30° | π/6 | √3/2 | 1/2 |
| 45° | π/4 | √2/2 | √2/2 |
| 60° | π/3 | 1/2 | √3/2 |
| 90° | π/2 | 0 | 1 |
| 180° | π | -1 | 0 |
| 270° | 3π/2 | 0 | -1 |
Esempio pratico
- Punto da raggio e angolo: r=2, θ=90° → (x,y)=(0,2).
Metodo, esempio, arrotondamento e limiti
Metodo: x = r cos θ; y = r sin θ; θ = atan2(y,x). Converti i gradi in radianti prima di seno e coseno.
Esempio svolto: r=2, θ=90° → (x,y)=(0,2).
Arrotondamento: x, y e l’angolo in radianti usano fino a 6 decimali; l’angolo in gradi usa 2 decimali.
Limite: Valori trigonometrici vicini a zero possono apparire zero dopo l’arrotondamento.
Fonte: OpenStax. https://openstax.org/books/calculus-volume-3/pages/1-3-polar-coordinates
Domande frequenti
- Quando dovrei usare le coordinate polari invece di quelle rettangolari?
- Le coordinate polari sono ideali quando si tratta di problemi circolari o rotazionali, come descrivere orbite, spirali, o qualsiasi situazione in cui la distanza da un punto centrale e l'angolo sono misure più naturali delle posizioni x e y.
- Il raggio può essere negativo?
- Sì, un raggio negativo significa che il punto è nella direzione opposta. Il punto (-r, θ) è lo stesso di (r, θ + 180°). Questa convenzione è talvolta usata in matematica ma può essere confusa, quindi i raggi positivi sono più comuni.
- Come converto i gradi in radianti?
- Moltiplica i gradi per π/180. Per esempio, 90° = 90 × π/180 = π/2 radianti. Inversamente, moltiplica i radianti per 180/π per ottenere i gradi.
- Qual è la relazione tra la forma polare e i numeri complessi?
- Un numero complesso x + yi corrisponde al punto (x, y) in coordinate rettangolari, che equivale a (r, θ) in forma polare dove r = √(x² + y²) e θ = atan2(y,x). Questo si scrive come r∠θ o r·e^(iθ).