Calcolatore di Progressione Geometrica – Sequenza Geometrica
Calcola l'n-esimo termine, somma e somma infinita delle sequenze geometriche
Sommario
Come Usare
- Inserisci il primo termine della sequenza
- Inserisci il rapporto comune tra termini consecutivi
- Inserisci il numero di termini che vuoi calcolare
- Fai clic su calcola per vedere l'n-esimo termine, somma e sequenza
Cos'è una Progressione Geometrica?
Una progressione geometrica (PG) o sequenza geometrica è una sequenza di numeri in cui ogni termine dopo il primo si trova moltiplicando il termine precedente per un numero fisso, non nullo, chiamato rapporto comune.
Ad esempio: 2, 6, 18, 54, 162... è una progressione geometrica con primo termine a = 2 e rapporto comune r = 3.
Formule Chiave
- n-esimo termine: a_n = a × r^(n-1), dove a è il primo termine e r è il rapporto comune
- Somma di n termini: S_n = a × (1 - r^n) / (1 - r) quando r ≠ 1
- Somma di n termini: S_n = n × a quando r = 1
- Somma infinita: S_∞ = a / (1 - r) quando |r| < 1
Convergenza e Divergenza
Una serie geometrica converge (ha una somma finita) solo quando il valore assoluto del rapporto comune è inferiore a 1 (|r| < 1). Quando |r| ≥ 1, la serie diverge e non ha somma finita.
Domande frequenti
- Cosa succede quando il rapporto comune è 1?
- Quando r = 1, tutti i termini nella sequenza sono uguali al primo termine. La somma di n termini è semplicemente n × a, dove a è il primo termine.
- Una progressione geometrica può avere termini negativi?
- Sì, se il primo termine o il rapporto comune (o entrambi) è negativo, la sequenza avrà termini negativi. Un rapporto comune negativo crea una sequenza alternata.
- Quando esiste la somma infinita?
- La somma infinita esiste solo quando |r| < 1. In questo caso, i termini diventano sempre più piccoli, avvicinandosi a zero, permettendo alla serie di convergere a un valore finito.