Calcolatore Proiezione Ortogonale – Proiezione Vettoriale
Calcola la proiezione di un vettore su un altro
Sommario
Come Usare
- Inserisci le componenti x, y e z del vettore u (il vettore da proiettare)
- Inserisci le componenti x, y e z del vettore v (il vettore su cui proiettare)
- Fai clic su calcola per vedere il risultato della proiezione
- Visualizza il vettore proiezione, la magnitudine e la proiezione scalare
Cos'è la Proiezione Ortogonale?
La proiezione ortogonale del vettore u sul vettore v è la componente di u che giace nella direzione di v. Geometricamente, è l'ombra che u proietterebbe su v se la luce brillasse perpendicolarmente a v.
La formula di proiezione è: proj_v(u) = (u · v / |v|²) × v, dove u · v è il prodotto scalare e |v| è la magnitudine di v.
Proiezione Vettoriale vs Scalare
- Proiezione Vettoriale: La componente vettoriale effettiva di u nella direzione di v. Ha sia magnitudine che direzione.
- Proiezione Scalare: La lunghezza con segno della proiezione. Positiva se u e v puntano in direzioni simili, negativa se opposte.
La proiezione scalare è calcolata come: comp_v(u) = u · v / |v|
Applicazioni della Proiezione Vettoriale
- Fisica: Scomposizione delle forze in componenti, calcoli del lavoro
- Grafica Computerizzata: Calcoli delle ombre, modelli di illuminazione
- Machine Learning: Estrazione di caratteristiche, riduzione della dimensionalità
- Ingegneria: Analisi strutturale, elaborazione del segnale
- Navigazione: Trovare la distanza lungo un percorso o una direzione
Proprietà della Proiezione Ortogonale
- Idempotente: Proiettare una proiezione dà lo stesso risultato
- Lineare: proj(au + bw) = a·proj(u) + b·proj(w)
- Complemento Ortogonale: u - proj_v(u) è perpendicolare a v
- Limite di Magnitudine: |proj_v(u)| ≤ |u|
Domande frequenti
- Qual è la differenza tra proiezione vettoriale e scalare?
- La proiezione vettoriale ti dà un vettore nella direzione di v con la lunghezza appropriata. La proiezione scalare ti dà solo la lunghezza con segno (un numero) di quella proiezione. La proiezione vettoriale è uguale alla proiezione scalare per il vettore unitario nella direzione di v.
- Cosa succede se proietto su un vettore nullo?
- Proiettare su un vettore nullo è matematicamente indefinito perché si verifica una divisione per zero. Il nostro calcolatore restituisce un vettore nullo in questo caso per gestire il caso limite con eleganza.
- Come è correlata la proiezione al prodotto scalare?
- Il prodotto scalare u · v è uguale a |u| |v| cos(θ), dove θ è l'angolo tra i vettori. La proiezione scalare è u · v / |v| = |u| cos(θ), che è la componente di u nella direzione di v.
- La proiezione può essere negativa?
- La proiezione scalare può essere negativa quando l'angolo tra i vettori è maggiore di 90°. La proiezione vettoriale punta nella direzione opposta a v in questo caso.