Calcolatore Regola di Cramer – Risolvere Sistemi Lineari
Risolvi sistemi lineari usando la regola di Cramer con i determinanti
Come Usare
- Seleziona la dimensione del sistema (2x2 o 3x3)
- Inserisci le righe della matrice dei coefficienti su righe separate
- Inserisci i valori del vettore costante separati da spazi
- Clicca su calcola per trovare la soluzione usando la regola di Cramer
Cos'è la Regola di Cramer?
La regola di Cramer è un teorema matematico utilizzato per risolvere sistemi di equazioni lineari con lo stesso numero di equazioni e incognite. Esprime la soluzione in termini di determinanti di matrici.
Per un sistema Ax = b, dove A è la matrice dei coefficienti e b è il vettore costante, ogni variabile xᵢ è calcolata come: xᵢ = det(Aᵢ) / det(A), dove Aᵢ è la matrice A con la sua i-esima colonna sostituita da b.
Quando Usare la Regola di Cramer
- Sistemi piccoli (2x2 o 3x3) dove il calcolo manuale è fattibile
- Quando hai bisogno della soluzione in termini di determinanti
- Analisi teorica e dimostrazioni
- Sistemi dove il determinante è già noto o facile da calcolare
Per sistemi più grandi o calcolo numerico, metodi come l'eliminazione di Gauss o la decomposizione LU sono più efficienti.
Limitazioni
- Funziona solo quando la matrice dei coefficienti è quadrata (stesso numero di equazioni e incognite)
- Richiede det(A) ≠ 0 (la matrice deve essere non singolare)
- Computazionalmente inefficiente per sistemi grandi (richiede n+1 calcoli di determinanti)
- Suscettibile a instabilità numerica con matrici mal condizionate
Esempio: Sistema 2x2
Risolvere: 2x + y = 8 e x + 3y = 13
det(A) = |2 1; 1 3| = 6 - 1 = 5
x = |8 1; 13 3| / 5 = (24 - 13) / 5 = 11/5 = 2.2
y = |2 8; 1 13| / 5 = (26 - 8) / 5 = 18/5 = 3.6
Domande frequenti
- Cosa succede se il determinante è zero?
- Se det(A) = 0, la matrice è singolare e il sistema non ha soluzione o ha infinite soluzioni. La regola di Cramer non può essere usata in questo caso.
- La regola di Cramer è efficiente per sistemi grandi?
- No. La regola di Cramer richiede il calcolo di n+1 determinanti per un sistema n×n, che diventa computazionalmente costoso. Metodi come l'eliminazione di Gauss sono molto più efficienti per sistemi più grandi di 3×3.
- La regola di Cramer può risolvere sistemi con più equazioni che incognite?
- No. La regola di Cramer si applica solo a sistemi quadrati (stesso numero di equazioni e incognite). Per sistemi sovradeterminati o sottodeterminati, usa i minimi quadrati o altri metodi.