Calcolatore di Serie di Potenze – Serie di Taylor e Maclaurin
Calcola gli sviluppi in serie di potenze per funzioni comuni
Sommario
Come Usare
- Seleziona il tipo di funzione (esponenziale, seno, coseno, ln o geometrica)
- Inserisci il punto centrale (0 per le serie di Maclaurin)
- Specifica il numero di termini da calcolare
- Inserisci il valore al quale valutare la serie
- Clicca su calcola per vedere lo sviluppo della serie e l'approssimazione
Cos'è una Serie di Potenze?
Una serie di potenze è una serie infinita della forma Σ aₙ(x-a)ⁿ, dove aₙ sono i coefficienti, x è la variabile e a è il punto centrale. Le serie di potenze sono usate per rappresentare funzioni come somme infinite di termini polinomiali.
Quando il punto centrale a = 0, la serie si chiama serie di Maclaurin. Quando a ≠ 0, si chiama serie di Taylor centrata in a.
Serie di Potenze Comuni
| Funzione | Serie di Potenze | Convergenza |
|---|---|---|
| e^x | Σ xⁿ/n! | Tutti gli x reali |
| sin(x) | Σ (-1)ⁿx^(2n+1)/(2n+1)! | Tutti gli x reali |
| cos(x) | Σ (-1)ⁿx^(2n)/(2n)! | Tutti gli x reali |
| ln(1+x) | Σ (-1)^(n+1)xⁿ/n | -1 < x ≤ 1 |
| 1/(1-x) | Σ xⁿ | |x| < 1 |
Formula della Serie di Taylor
La serie di Taylor di una funzione f(x) centrata in a è:
f(x) = Σ f⁽ⁿ⁾(a)/n! × (x-a)ⁿ per n = 0 a ∞
Dove f⁽ⁿ⁾(a) è la derivata n-esima di f valutata in x = a.
Convergenza e Raggio
Ogni serie di potenze ha un raggio di convergenza R, che determina dove la serie converge:
- La serie converge assolutamente per |x - a| < R
- La serie diverge per |x - a| > R
- In |x - a| = R, la convergenza deve essere testata separatamente
- R può essere trovato usando il criterio del rapporto o della radice
Applicazioni delle Serie di Potenze
- Approssimazione dei valori delle funzioni
- Risoluzione di equazioni differenziali
- Valutazione di limiti e integrali
- Analisi numerica e calcolo
- Calcoli di fisica e ingegneria
- Elaborazione del segnale e analisi di Fourier
- Grafica computerizzata e animazione
Domande frequenti
- Qual è la differenza tra le serie di Taylor e di Maclaurin?
- Una serie di Maclaurin è un caso speciale di una serie di Taylor dove il punto centrale è 0. Le serie di Taylor possono essere centrate in qualsiasi punto a, mentre le serie di Maclaurin sono sempre centrate in x = 0.
- Quanti termini mi servono per una buona approssimazione?
- Dipende dalla funzione e da quanto x è vicino al punto centrale. Generalmente, più termini danno una migliore precisione. Per la maggior parte degli scopi pratici, 5-10 termini forniscono buone approssimazioni vicino al centro.
- Perché la serie a volte dà valori sbagliati?
- Le serie di potenze convergono solo all'interno del loro raggio di convergenza. Per esempio, ln(1+x) converge solo per -1 < x ≤ 1, quindi valutare in x = 2 darà risultati errati.
- Posso usare le serie di potenze per qualsiasi funzione?
- Non tutte le funzioni hanno rappresentazioni in serie di potenze. Una funzione deve essere infinitamente derivabile nel punto centrale per avere una serie di Taylor. Alcune funzioni, come |x|, non hanno serie di potenze in certi punti.