Calcolatore di Sistema di Equazioni Differenziali
Analizza sistemi di equazioni differenziali lineari con analisi degli autovalori
Sommario
Come Usare
- Inserisci il coefficiente a₁₁ per il termine x della prima equazione
- Inserisci il coefficiente a₁₂ per il termine y della prima equazione
- Inserisci il coefficiente a₂₁ per il termine x della seconda equazione
- Inserisci il coefficiente a₂₂ per il termine y della seconda equazione
- Fai clic su Calcola per vedere autovalori, autovettori e analisi di stabilità
Cosa sono i Sistemi di Equazioni Differenziali?
Un sistema di equazioni differenziali lineari descrive come più variabili cambiano nel tempo in relazione tra loro. Il sistema 2×2 ha la forma: dx/dt = a₁₁x + a₁₂y e dy/dt = a₂₁x + a₂₂y.
Questi sistemi compaiono in fisica (oscillatori accoppiati), biologia (modelli predatore-preda), economia (dinamica domanda-offerta) e ingegneria (sistemi di controllo).
Analisi degli Autovalori
Gli autovalori determinano il comportamento delle soluzioni. Si trovano risolvendo det(A - λI) = 0, che dà λ² - (traccia)λ + (determinante) = 0.
| Autovalori | Classificazione | Comportamento |
|---|---|---|
| Reali, entrambi negativi | Nodo stabile | Le soluzioni si avvicinano all'origine |
| Reali, entrambi positivi | Nodo instabile | Le soluzioni si allontanano dall'origine |
| Reali, segni opposti | Punto di sella | Instabile con direzioni stabili/instabili |
| Complessi con parte reale negativa | Spirale stabile | Spirale verso l'origine |
| Complessi con parte reale positiva | Spirale instabile | Spirale lontano dall'origine |
| Puramente immaginari | Centro | Orbite chiuse attorno all'origine |
Criteri di Stabilità
La stabilità dell'equilibrio all'origine dipende dalla traccia e dal determinante:
- Se det < 0: punto di sella (instabile)
- Se det > 0 e tr < 0: stabile (nodo o spirale)
- Se det > 0 e tr > 0: instabile (nodo o spirale)
- Se det > 0 e tr = 0: centro (neutralmente stabile)
- Il discriminante tr² - 4det determina se gli autovalori sono reali o complessi
Applicazioni nel Mondo Reale
- Dinamica delle popolazioni: interazioni predatore-preda (equazioni di Lotka-Volterra)
- Sistemi meccanici: molle e pendoli accoppiati
- Circuiti elettrici: circuiti RLC con più loop
- Reazioni chimiche: cinetica di reazione con più specie
- Economia: equilibrio di mercato e dinamica dei prezzi
- Teoria del controllo: sistemi di feedback e analisi di stabilità
Domande frequenti
- Cosa ci dicono gli autovalori sul sistema?
- Gli autovalori determinano come le soluzioni evolvono nel tempo. Gli autovalori reali indicano crescita o decadimento esponenziale, mentre gli autovalori complessi indicano comportamento oscillatorio. Il segno della parte reale determina la stabilità.
- A cosa servono gli autovettori?
- Gli autovettori mostrano le direzioni lungo le quali si muovono le soluzioni. Formano la base per la soluzione generale e aiutano a visualizzare il ritratto di fase del sistema.
- Cosa significa 'stabile' in questo contesto?
- Un sistema stabile significa che le soluzioni che iniziano vicino al punto di equilibrio (origine) si avvicineranno ad esso con l'aumentare del tempo. Un sistema instabile significa che le soluzioni si allontanano dall'equilibrio.
- Questo calcolatore può gestire sistemi non lineari?
- No, questo calcolatore è progettato solo per sistemi lineari. I sistemi non lineari richiedono la linearizzazione attorno ai punti di equilibrio prima che questa analisi possa essere applicata.