Calcolatore del Test del Rapporto – Convergenza delle Serie
Testa la convergenza delle serie usando il test del rapporto (criterio di D'Alembert)
Sommario
Come Usare
- Seleziona il tipo di serie che vuoi analizzare
- Inserisci i parametri richiesti per la tua serie
- Clicca su calcola per applicare il test del rapporto
- Visualizza il risultato di convergenza e la spiegazione
Cos'è il Test del Rapporto?
Il test del rapporto (noto anche come criterio di D'Alembert) è un metodo per determinare se una serie infinita converge o diverge. Esamina il limite del rapporto dei termini consecutivi.
Per una serie Σaₙ, calcola L = lim(n→∞) |aₙ₊₁/aₙ|. Quindi: se L < 1, la serie converge assolutamente; se L > 1, la serie diverge; se L = 1, il test è non conclusivo.
Quando Usare il Test del Rapporto
Il test del rapporto è particolarmente efficace per serie che coinvolgono:
- Fattoriali (n!)
- Esponenziali (aⁿ)
- Prodotti di fattoriali ed esponenziali
- Serie di potenze (per trovare il raggio di convergenza)
Limitazioni
Il test del rapporto è non conclusivo (L = 1) per molte serie importanti:
- Serie P (Σ1/n^p) - usa invece il test delle serie p
- Serie armonica (Σ1/n) - diverge
- Serie armonica alternata - usa il test delle serie alternate
Esempi Comuni
Serie geometrica Σrⁿ: L = |r|, converge se |r| < 1
Serie fattoriale Σ1/n!: L = 0, converge
Serie esponenziale Σxⁿ/n!: L = 0, converge per ogni x
Domande frequenti
- Cosa significa quando il test del rapporto è non conclusivo?
- Quando L = 1, il test del rapporto non può determinare la convergenza. Devi usare un altro test come il test della radice, il test di confronto, il test integrale o il test delle serie alternate a seconda della struttura della serie.
- Qual è la differenza tra il test del rapporto e il test della radice?
- Entrambi i test esaminano limiti simili ma usano approcci diversi. Il test del rapporto esamina |aₙ₊₁/aₙ|, mentre il test della radice esamina |aₙ|^(1/n). Spesso danno lo stesso risultato, ma a volte uno è più facile da calcolare dell'altro.
- Il test del rapporto può determinare la convergenza condizionale?
- No, il test del rapporto determina solo la convergenza assoluta. Se L < 1, la serie converge assolutamente. Per la convergenza condizionale (converge ma non assolutamente), hai bisogno di altri test come il test delle serie alternate.
- Perché funziona il test del rapporto?
- Il test del rapporto confronta la tua serie con una serie geometrica. Se il rapporto dei termini consecutivi si avvicina a un valore minore di 1, la serie si comporta come una serie geometrica convergente. Se maggiore di 1, si comporta come una serie geometrica divergente.