Calcolatore Volume Parallelepipedo – Prodotto Misto
Calcola il volume del parallelepipedo da tre vettori spigolo
Sommario
Come Usare
- Inserisci le componenti x, y e z del vettore a (primo spigolo)
- Inserisci le componenti x, y e z del vettore b (secondo spigolo)
- Inserisci le componenti x, y e z del vettore c (terzo spigolo)
- Fai clic su calcola per vedere il risultato del volume
Cos'è un Parallelepipedo?
Un parallelepipedo è una figura tridimensionale formata da sei parallelogrammi. È l'analogo 3D di un parallelogramma. Quando definito da tre vettori a, b e c che emanano da un vertice comune, il volume è uguale al valore assoluto del prodotto misto.
La formula del volume è: V = |a · (b × c)|, dove b × c è il prodotto vettoriale e a · (b × c) è il prodotto scalare di a con quel risultato.
Il Prodotto Misto
Il prodotto misto a · (b × c) può anche essere calcolato come il determinante di una matrice 3×3 con i vettori a, b, c come righe (o colonne).
- Significato geometrico: Il volume con segno del parallelepipedo
- Segno: Positivo se a, b, c formano un sistema destrorso; negativo se sinistrorso
- Risultato nullo: Indica che i tre vettori sono complanari (giacciono sullo stesso piano)
Applicazioni
- Cristallografia: Calcolo dei volumi delle celle unitarie nelle strutture cristalline
- Fisica: Calcolo di flusso e quantità di campo
- Ingegneria: Calcoli di volume nell'analisi strutturale
- Grafica Computerizzata: Rilevamento collisioni 3D e calcoli spaziali
- Algebra Lineare: Test di indipendenza lineare dei vettori
Casi Speciali
- Parallelepipedo rettangolo: Quando i vettori sono mutuamente perpendicolari, volume = |a| × |b| × |c|
- Cubo: Quando tutti e tre i vettori hanno uguale lunghezza e sono perpendicolari
- Caso degenere: Volume = 0 quando i vettori sono complanari
Domande frequenti
- Qual è la differenza tra un parallelepipedo e un parallelepipedo rettangolo?
- Un parallelepipedo rettangolo (cuboide) è un caso speciale di parallelepipedo dove tutti gli angoli sono di 90 gradi. Un parallelepipedo generale può avere facce che sono parallelogrammi non rettangolari con angoli obliqui.
- Perché il prodotto misto può essere negativo?
- Il segno indica l'orientamento dei tre vettori. Un valore positivo significa che formano un sistema di coordinate destrorso, mentre negativo significa sinistrorso. Per il volume, prendiamo il valore assoluto poiché il volume è sempre positivo.
- Cosa significa se il volume è zero?
- Un volume nullo indica che i tre vettori sono complanari—giacciono tutti sullo stesso piano. Questo significa che non generano uno spazio 3D e non possono formare un vero parallelepipedo.
- Come è correlato al determinante?
- Il prodotto misto è uguale al determinante della matrice 3×3 formata dai tre vettori. Questa connessione è fondamentale in algebra lineare e spiega perché il determinante misura il 'fattore di scala del volume' delle trasformazioni lineari.