Cramers Regel Kalkylator – Lösa Linjära System
Lös linjära system med Cramers regel med determinanter
Innehållsförteckning
Hur man Använder
- Välj systemstorlek (2x2 eller 3x3)
- Ange koefficiensmatrisrader på separata rader
- Ange konstanta vektorvärden separerade med mellanslag
- Klicka på beräkna för att hitta lösningen med Cramers regel
Vad är Cramers Regel?
Cramers regel är ett matematiskt teorem som används för att lösa system av linjära ekvationer med samma antal ekvationer som obekanta. Den uttrycker lösningen i termer av determinanter av matriser.
För ett system Ax = b, där A är koefficiensmatrisen och b är konstantvektorn, beräknas varje variabel xᵢ som: xᵢ = det(Aᵢ) / det(A), där Aᵢ är matrisen A med sin i:te kolumn ersätt av b.
När Cramers Regel Ska Användas
- Små system (2x2 eller 3x3) där manuell beräkning är möjlig
- När du behöver lösningen i termer av determinanter
- Teoretisk analys och bevis
- System där determinanten redan är känd eller lätt att beräkna
För större system eller numerisk beräkning är metoder som Gauss-elimination eller LU-dekomposition mer effektiva.
Begränsningar
- Fungerar bara när koefficiensmatrisen är kvadratisk (samma antal ekvationer och obekanta)
- Kräver det(A) ≠ 0 (matrisen måste vara icke-singulär)
- Beräkningsmässigt ineffektiv för stora system (kräver n+1 determinantberäkningar)
- Känslig för numerisk instabilitet med dåligt konditionerade matriser
Exempel: 2x2 System
Lös: 2x + y = 8 och x + 3y = 13
det(A) = |2 1; 1 3| = 6 - 1 = 5
x = |8 1; 13 3| / 5 = (24 - 13) / 5 = 11/5 = 2.2
y = |2 8; 1 13| / 5 = (26 - 8) / 5 = 18/5 = 3.6
Vanliga frågor
- Vad händer om determinanten är noll?
- Om det(A) = 0 är matrisen singulär och systemet har antingen ingen lösning eller oändligt många lösningar. Cramers regel kan inte användas i detta fall.
- Är Cramers regel effektiv för stora system?
- Nej. Cramers regel kräver beräkning av n+1 determinanter för ett n×n system, vilket blir beräkningsmässigt dyrt. Metoder som Gauss-elimination är mycket mer effektiva för system större än 3×3.
- Kan Cramers regel lösa system med fler ekvationer än obekanta?
- Nej. Cramers regel gäller endast för kvadratiska system (samma antal ekvationer som obekanta). För överbestämda eller underbestämda system, använd minsta kvadratmetoden eller andra metoder.