Differentialekvationssystem Kalkylator
Analysera linjära differentialekvationssystem med egenvärd esanalys
Innehållsförteckning
Hur man Använder
- Ange koefficienten a₁₁ för x-termen i första ekvationen
- Ange koefficienten a₁₂ för y-termen i första ekvationen
- Ange koefficienten a₂₁ för x-termen i andra ekvationen
- Ange koefficienten a₂₂ för y-termen i andra ekvationen
- Klicka på Beräkna för att se egenvärden, egenvektorer och stabilitetsanalys
Vad är Differentialekvationssystem?
Ett system av linjära differentialekvationer beskriver hur flera variabler förändras över tid i förhållande till varandra. 2×2-systemet har formen: dx/dt = a₁₁x + a₁₂y och dy/dt = a₂₁x + a₂₂y.
Dessa system förekommer i fysik (kopplade oscillatorer), biologi (rovdjur-byte-modeller), ekonomi (utbud-efterfrågan-dynamik) och teknik (styrsystem).
Egenvärdesanalys
Egenvärden bestämmer lösningarnas beteende. De hittas genom att lösa det(A - λI) = 0, vilket ger λ² - (spår)λ + (determinant) = 0.
| Egenvärden | Klassificering | Beteende |
|---|---|---|
| Reella, båda negativa | Stabil nod | Lösningar närmar sig origo |
| Reella, båda positiva | Instabil nod | Lösningar rör sig bort från origo |
| Reella, motsatta tecken | Sadelpunkt | Instabil med stabila/instabila riktningar |
| Komplexa med negativ realdel | Stabil spiral | Spiral inåt mot origo |
| Komplexa med positiv realdel | Instabil spiral | Spiral utåt från origo |
| Rent imaginära | Centrum | Slutna banor runt origo |
Stabilitetskriterier
Stabiliteten för jämvikten vid origo beror på spåret och determinanten:
- Om det < 0: sadelpunkt (instabil)
- Om det > 0 och tr < 0: stabil (nod eller spiral)
- Om det > 0 och tr > 0: instabil (nod eller spiral)
- Om det > 0 och tr = 0: centrum (neutralt stabil)
- Diskriminanten tr² - 4det bestämmer om egenvärden är reella eller komplexa
Verkliga Tillämpningar
- Populationsdynamik: rovdjur-byte-interaktioner (Lotka-Volterra-ekvationer)
- Mekaniska system: kopplade fjädrar och pendlar
- Elektriska kretsar: RLC-kretsar med flera slingor
- Kemiska reaktioner: reaktionskinetik med flera arter
- Ekonomi: marknadsjämvikt och prisdynamik
- Reglerteori: återkopplingssystem och stabilitetsanalys
Vanliga frågor
- Vad berättar egenvärden om systemet?
- Egenvärden bestämmer hur lösningar utvecklas över tid. Reella egenvärden indikerar exponentiell tillväxt eller förfall, medan komplexa egenvärden indikerar oscillerande beteende. Tecknet på realdelen bestämmer stabiliteten.
- Vad används egenvektorer till?
- Egenvektorer visar riktningarna längs vilka lösningar rör sig. De bildar basen för den allmänna lösningen och hjälper till att visualisera systemets fasporträtt.
- Vad betyder 'stabil' i detta sammanhang?
- Ett stabilt system betyder att lösningar som börjar nära jämviktspunkten (origo) kommer att närma sig den när tiden ökar. Ett instabilt system betyder att lösningar rör sig bort från jämvikten.
- Kan denna kalkylator hantera icke-linjära system?
- Nej, denna kalkylator är endast utformad för linjära system. Icke-linjära system kräver linjärisering kring jämviktspunkter innan denna analys kan tillämpas.