Diskriminant Kalkylator
Beräkna diskriminant och rötter för andragradsekvationer
Hur man Använder
- Ange koefficient 'a' (koefficienten för x²)
- Ange koefficient 'b' (koefficienten för x)
- Ange koefficient 'c' (konstanttermen)
- Granska typen av rötter baserat på diskriminanten
Beräkna diskriminant och rötter för andragradsekvationer
Beräkna diskriminanten för en andragradsekvation och hitta dess rötter. Metod: Δ = b² − 4ac; x = (−b ± √Δ)/(2a), a ≠ 0. Tecknet på Δ avgör reella, dubbla eller komplexa rötter.
Diskriminanten berättar om rötterna är reella eller komplexa, och om de är olika eller upprepade, utan att faktiskt lösa ekvationen.
Tolkning av Diskriminanten
| Diskriminantvärde | Typ av Rötter | Grafiskt Beteende |
|---|---|---|
| Δ > 0 | Två olika reella rötter | Parabeln skär x-axeln i två punkter |
| Δ = 0 | En upprepad reell rot | Parabeln nuddar x-axeln i en punkt (topp) |
| Δ < 0 | Två komplexa konjugerade rötter | Parabeln skär inte x-axeln |
Andragradsformeln
När du känner till diskriminanten kan du hitta rötterna med andragradsformeln:
x = (-b ± √Δ) / (2a)
Där:
- x representerar ekvationens rötter
- a, b, c är koefficienterna från ax² + bx + c = 0
- Δ är diskriminanten (b² - 4ac)
- ± betyder att det finns två lösningar (såvida inte Δ = 0)
Förstå Komplexa Rötter
När diskriminanten är negativ är rötterna komplexa tal. Komplexa rötter kommer alltid i konjugerade par: a + bi och a - bi.
Till exempel, om Δ = -16, då är √Δ = 4i, där i är den imaginära enheten (i² = -1). Rötterna skulle beräknas som x = (-b ± 4i) / (2a).
Tillämpat exempel
- Andragradsfunktionens graf: x²−3x+2=0 → Δ=1; x=1,2.
Metod, exempel, avrundning och gränser
Metod: Δ = b² − 4ac; x = (−b ± √Δ)/(2a), a ≠ 0. Tecknet på Δ avgör reella, dubbla eller komplexa rötter.
Räkneexempel: a=1, b=−3, c=2 → Δ=1, x₁=2, x₂=1; a=1, b=0, c=1 → Δ=−4, x=±i.
Avrundning: Rotkomponenter visas med sex signifikanta siffror; detta är visningsprecision, inte garanterad noggrannhet. Koefficienter och diskriminant behåller sin beräknade precision.
Gräns: Rötter är numeriska approximationer. Ett beräknat |Δ| ≤ 2 × ε × max(|b²|, |4ac|), med ε = Number.EPSILON ≈ 2.22 × 10⁻¹⁶, behandlas som noll och anges som en dubbelrot. Nära denna gräns är klassificeringen inget exakt bevis för antalet rötter. Icke ändliga beräkningar avvisas.
Källa: OpenStax. https://openstax.org/books/college-algebra-2e/pages/2-5-quadratic-equations Goldberg, Oracle: https://docs.oracle.com/cd/E19957-01/806-3568/ncg_goldberg.html
Vanliga frågor
- Vad betyder en diskriminant på noll?
- En diskriminant på noll betyder att andragradsekvationen har exakt en reell rot (en upprepad rot). Grafiskt betyder detta att parabeln bara nuddar x-axeln vid sin topp.
- Kan diskriminanten vara negativ?
- Ja, en negativ diskriminant betyder att andragradsekvationen har två komplexa konjugerade rötter. Parabeln skär inte x-axeln i detta fall.
- Varför måste koefficient 'a' vara icke-noll?
- Om a = 0 blir ekvationen bx + c = 0, vilket är linjärt, inte kvadratiskt. Diskriminanten är specifikt definierad för andragradsekvationer där den högsta potensen är x².
- Hur används diskriminanten i andragradsformeln?
- Diskriminanten förekommer under kvadratroten i andragradsformeln: x = (-b ± √Δ) / (2a). Dess värde bestämmer om vi tar kvadratroten av ett positivt, noll eller negativt tal, vilket påverkar röternas natur.