Diskriminant Kalkylator
Beräkna diskriminant och rötter för andragradsekvationer
Hur man Använder
- Ange koefficient 'a' (koefficienten för x²)
- Ange koefficient 'b' (koefficienten för x)
- Ange koefficient 'c' (konstanttermen)
- Klicka på Beräkna för att se diskriminantvärdet och rötterna
- Granska typen av rötter baserat på diskriminanten
Vad är Diskriminanten?
Diskriminanten är ett värde beräknat från koefficienterna i en andragradsekvation som avslöjar viktig information om ekvationens rötter. För andragradsekvationen ax² + bx + c = 0 är diskriminanten Δ = b² - 4ac.
Diskriminanten berättar om rötterna är reella eller komplexa, och om de är olika eller upprepade, utan att faktiskt lösa ekvationen.
Tolkning av Diskriminanten
| Diskriminantvärde | Typ av Rötter | Grafiskt Beteende |
|---|---|---|
| Δ > 0 | Två olika reella rötter | Parabeln skär x-axeln i två punkter |
| Δ = 0 | En upprepad reell rot | Parabeln nuddar x-axeln i en punkt (topp) |
| Δ < 0 | Två komplexa konjugerade rötter | Parabeln skär inte x-axeln |
Andragradsformeln
När du känner till diskriminanten kan du hitta rötterna med andragradsformeln:
x = (-b ± √Δ) / (2a)
Där:
- x representerar ekvationens rötter
- a, b, c är koefficienterna från ax² + bx + c = 0
- Δ är diskriminanten (b² - 4ac)
- ± betyder att det finns två lösningar (såvida inte Δ = 0)
Förstå Komplexa Rötter
När diskriminanten är negativ är rötterna komplexa tal. Komplexa rötter kommer alltid i konjugerade par: a + bi och a - bi.
Till exempel, om Δ = -16, då är √Δ = 4i, där i är den imaginära enheten (i² = -1). Rötterna skulle beräknas som x = (-b ± 4i) / (2a).
Verkliga Tillämpningar
- Fysik: Projektilrörelse och banberäkningar
- Teknik: Strukturanalys och optimering
- Ekonomi: Vinstmaximering och kostnadsminimering
- Datorgrafik: Paraboliska kurvor och animationer
- Signalbehandling: Filterdesign och analys
- Optik: Lins- och spegelberäkningar
- Statistik: Kurvanpassning och regressionsanalys
Vanliga frågor
- Vad betyder en diskriminant på noll?
- En diskriminant på noll betyder att andragradsekvationen har exakt en reell rot (en upprepad rot). Grafiskt betyder detta att parabeln bara nuddar x-axeln vid sin topp.
- Kan diskriminanten vara negativ?
- Ja, en negativ diskriminant betyder att andragradsekvationen har två komplexa konjugerade rötter. Parabeln skär inte x-axeln i detta fall.
- Varför måste koefficient 'a' vara icke-noll?
- Om a = 0 blir ekvationen bx + c = 0, vilket är linjärt, inte kvadratiskt. Diskriminanten är specifikt definierad för andragradsekvationer där den högsta potensen är x².
- Hur används diskriminanten i andragradsformeln?
- Diskriminanten förekommer under kvadratroten i andragradsformeln: x = (-b ± √Δ) / (2a). Dess värde bestämmer om vi tar kvadratroten av ett positivt, noll eller negativt tal, vilket påverkar röternas natur.