Divergenskalkylator – Vektorfältsdivergensen
Beräkna divergensen av ett 3D-vektorfält
Hur man Använder
- Ange koefficienterna för P-komponenten (koefficient för x, y, z)
- Ange koefficienterna för Q-komponenten (koefficient för x, y, z)
- Ange koefficienterna för R-komponenten (koefficient för x, y, z)
- Ange punkten (x, y, z) där du vill utvärdera divergensen
- Klicka på beräkna för att se divergensresultatet
Vad är Divergens?
Divergens är en vektoroperator som mäter storleken på en källa eller sänka för ett vektorfält vid en given punkt. Med andra ord berättar det hur mycket ett vektorfält 'sprider ut sig' eller 'konvergerar' vid den punkten.
För ett 3D-vektorfält F(x,y,z) = (P, Q, R) definieras divergensen som: div F = ∂P/∂x + ∂Q/∂y + ∂R/∂z
Fysisk Tolkning
Divergens har viktiga fysiska tolkningar:
- Positiv divergens: Fältet fungerar som en källa (vätska strömmar utåt)
- Negativ divergens: Fältet fungerar som en sänka (vätska strömmar inåt)
- Noll divergens: Fältet är inkompressibelt (volym bevaras)
- I fluiddynamik: divergens mäter expansions- eller kompressionshastighet
- I elektromagnetism: divergens är relaterad till laddningstäthet (Gauss lag)
Hur man Beräknar Divergens
För att beräkna divergensen av ett vektorfält F = (P, Q, R):
- Ta den partiella derivatan av P med avseende på x: ∂P/∂x
- Ta den partiella derivatan av Q med avseende på y: ∂Q/∂y
- Ta den partiella derivatan av R med avseende på z: ∂R/∂z
- Addera dessa tre partiella derivator: div F = ∂P/∂x + ∂Q/∂y + ∂R/∂z
Till exempel, om F(x,y,z) = (2x, 3y, 4z), då är div F = 2 + 3 + 4 = 9.
Tillämpningar av Divergens
- Fluiddynamik: modellering av inkompressibelt flöde
- Elektromagnetism: Gauss lag och Maxwells ekvationer
- Värmeöverföring: analys av värmeflöde och temperaturfördelning
- Datorgrafik: simulering av vätska och rökeffekter
- Vädermodellering: analys av atmosfäriska trycksystem
- Teknik: spänningsanalys och materialdeformation
Divergenssatsen
Divergenssatsen (även kallad Gauss sats) relaterar flödet av ett vektorfält genom en sluten yta till divergensen av fältet i volymen som omsluts av ytan:
∫∫∫ (div F) dV = ∫∫ F · n dS
Denna sats är grundläggande inom fysik och teknik och kopplar ihop lokala egenskaper (divergens) med globala egenskaper (flöde genom en gräns).
Vanliga frågor
- Vad betyder positiv divergens?
- Positiv divergens betyder att vektorfältet fungerar som en källa vid den punkten - fältvektorerna pekar utåt, som vätska som strömmar ut från en källa. Storleken berättar hur stark källan är.
- Vad är skillnaden mellan divergens och rotation?
- Divergens mäter hur mycket ett vektorfält sprider ut sig eller konvergerar (producerar en skalär), medan rotation mäter hur mycket det roterar (producerar en vektor). Divergens använder notationen ∇·F, rotation använder ∇×F.
- Kan divergensen vara negativ?
- Ja, negativ divergens indikerar att fältet fungerar som en sänka - vektorer pekar inåt mot den punkten. Till exempel skulle ett avlopp i ett vätskeflöde ha negativ divergens.
- Vad betyder noll divergens?
- Noll divergens betyder att fältet är inkompressibelt eller divergensfritt vid den punkten. Mängden fält som strömmar in i en liten volym är lika med mängden som strömmar ut. Detta är viktigt för att modellera inkompressibla vätskor och magnetfält.