Lagrange-multiplikator kalkylator
Optimera ett kvadratiskt mål med ett linjärt villkor.
Innehållsförteckning
Hur man Använder
- Ange de kvadratiska koefficienterna a, b, c för f(x, y) = ax^2 + by^2 + cxy.
- Ställ in det linjära villkoret d·x + e·y = k.
- Kör beräkningen för att lösa Lagrange-systemet för x, y och λ.
- Granska den optimerade punkten och målvärdet på begränsningslinjen.
Hur Lagrange-metoden fungerar
Lagrange-multiplikatorer inför villkoret i målet genom att lägga till λ gånger villkorsekvationen. Stationära punkter uppfyller både gradientekvationerna och villkoret samtidigt.
- Sätt upp Lagrangian L = f(x, y) + λ(d x + e y - k).
- Sätt de partiella derivatorna ∂L/∂x, ∂L/∂y och villkoret till noll.
- Lös det resulterande linjära systemet för x, y och λ.
- Beräkna målet vid den stationära punkten för att bedöma resultatet under villkoret.
Modellantaganden i denna kalkylator
- Målet är kvadratiskt i x och y: ax^2 + by^2 + cxy.
- Det finns ett enda linjärt likhetsvillkor d·x + e·y = k.
- En unik stationär punkt finns när det linjära systemet är lösbart.
- Om determinanten är noll kan metoden inte ge en entydig lösning.
Använd denna uppställning för snabb intuition om kvadratiska problem med villkor. Mer komplexa mål eller flera villkor kräver en fullständig symbolisk lösare.
Vanliga frågor
- Vad händer om d och e båda är noll?
- Villkoret blir degenererat och begränsar inte målet. Ange minst en koefficient som inte är noll i villkoret för att hitta en giltig stationär punkt.
- Hur vet jag om denna punkt är ett minimum eller maximum?
- Verktyget returnerar den stationära punkten på villkoret. För att klassificera den, studera den kvadratiska formen (t.ex. via Hessians egenvärden) eller testa närliggande tillåtna punkter.
- Kan jag utöka detta till fler variabler?
- Metoden generaliseras, men denna kalkylator fokuserar på två variabler med ett linjärt villkor för tydlighet. För större system använder du samma gradient- och villkorsekvationer med fler multiplikatorer.