Linearisering Kalkylator – Hitta Linjär Approximation
Hitta den linjära approximationen av en funktion vid en punkt.
Innehållsförteckning
Hur man Använder
- Ange din funktion med standardnotation (t.ex., x^2, sin(x), exp(x))
- Specificera variabelnamnet (standard är x)
- Ange punkten där du vill linearisera funktionen
- Klicka på beräkna för att få den linjära approximationen
Vad är Linearisering?
Linearisering är processen att approximera en funktion nära en punkt med dess tangentlinje. Den linjära approximationen L(x) vid punkt a ges av: L(x) = f(a) + f'(a)(x - a), där f(a) är funktionsvärdet och f'(a) är derivatan vid punkt a.
Denna approximation fungerar bäst för värden av x nära a. Ju längre x är från a, desto mindre exakt blir approximationen.
Lineariseringsformeln
- L(x) = f(a) + f'(a)(x - a)
- f(a) är y-koordinaten för punkten på kurvan
- f'(a) är lutningen på tangentlinjen
- (x - a) representerar det horisontella avståndet från punkten
Tillämpningar av Linearisering
- Approximera komplexa funktioner med enklare linjära
- Feluppskattning i mätningar
- Fysik: små vinkel-approximationer (sin(θ) ≈ θ)
- Teknik: analysera system nära jämviktspunkter
- Ekonomi: marginalanalys
Vanliga frågor
- När är linearisering mest exakt?
- Linearisering är mest exakt när x är mycket nära punkt a. Approximationsfelet växer när du rör dig längre från a, särskilt för funktioner med hög krökning.
- Vad är skillnaden mellan linearisering och Taylor-serier?
- Linearisering är första ordningens Taylor-polynom—det använder bara funktionsvärdet och första derivatan. Taylor-serier kan inkludera termer av högre ordning för bättre noggrannhet över större intervall.
- Kan jag linearisera vilken funktion som helst?
- Du kan linearisera vilken funktion som helst som är deriverbar vid den intressanta punkten. Om funktionen har en diskontinuitet eller hörn vid den punkten är linearisering inte möjlig där.