LU-Dekomposition Kalkylator – Faktorisera Matriser till L och U
Dekomponera matriser till nedre och övre triangulära faktorer
Hur man Använder
- Välj matrisstorlek (2x2 eller 3x3)
- Ange matriselementen
- Klicka på beräkna för att se LU-dekompositionen
- Granska L- och U-matriserna med verifiering
Vad är LU-Dekomposition?
LU-dekomposition (även kallad LU-faktorisering) är en metod för att faktorisera en matris A till produkten av en nedre triangulär matris L och en övre triangulär matris U, så att A = LU. Den nedre triangulära matrisen har alla nollor ovanför diagonalen, medan den övre triangulära matrisen har alla nollor under diagonalen.
Denna dekomposition är grundläggande inom numerisk linjär algebra och används omfattande för att lösa system av linjära ekvationer, beräkna determinanter och effektivt hitta matrisinverser.
Tillämpningar av LU-Dekomposition
- Lösa system av linjära ekvationer (Ax = b)
- Effektiv beräkning av matrisdeterminanter
- Hitta matrisinverser
- Numerisk stabilitet i beräkningsalgoritmer
- Ingenjörs- och fysiksimulationer
Doolittles Metod
Denna kalkylator använder Doolittles algoritm, som sätter diagonalelementen i L till 1. Algoritmen beräknar systematiskt elementen i U rad för rad och L kolumn för kolumn, vilket säkerställer att A = LU.
Vanliga frågor
- Vad betyder det om LU-dekomposition misslyckas?
- LU-dekomposition utan pivotering misslyckas när en noll-pivot påträffas, vilket betyder att matrisen är singulär eller att dekompositionen kräver radbyten. I sådana fall bör LU-dekomposition med partiell pivotering (PA = LU) användas.
- Varför är LU-dekomposition användbar?
- När en matris väl är dekomponerad till L och U blir lösning av ekvationssystem mycket snabbare. Istället för att lösa Ax = b direkt löser du Ly = b (framåtsubstitution) och sedan Ux = y (bakåtsubstitution), vilket är beräkningsmässigt effektivt.
- Vad är skillnaden mellan L- och U-matriser?
- L (Nedre triangulär) har icke-noll element endast på och under huvuddiagonalen, med 1:or på diagonalen i Doolittles metod. U (Övre triangulär) har icke-noll element endast på och ovanför huvuddiagonalen.