Mittpunktsregel Kalkylator – Numerisk Integration
Approximera integraler med mittpunktsregelmetoden.
Hur man Använder
- Ange funktionen f(x) med x som variabel
- Specificera nedre och övre integrationsgränser
- Ange antalet delintervall (n)
- Klicka på beräkna för att få approximationen
Vad är Mittpunktsregeln?
Mittpunktsregeln är en numerisk integrationsteknik som används för att approximera den bestämda integralen av en funktion. Den fungerar genom att dela intervallet [a, b] i n lika delintervall och approximera arean under kurvan med rektanglar vars höjder bestäms av funktionsvärdet vid mittpunkten av varje delintervall.
Formeln är: ∫f(x)dx ≈ Δx × [f(x₁) + f(x₂) + ... + f(xₙ)], där Δx = (b-a)/n och xᵢ är mittpunkten av det i:te delintervallet.
Noggrannhet hos Mittpunktsregeln
Mittpunktsregeln ger vanligtvis bättre noggrannhet än vänster eller höger Riemann-summor eftersom mittpunkten ofta ger en bättre representation av det genomsnittliga funktionsvärdet över varje delintervall.
- Att öka antalet delintervall förbättrar noggrannheten
- Felet minskar proportionellt mot 1/n²
- Fungerar bra för släta, kontinuerliga funktioner
- Kan ha svårigheter med funktioner som har snabba oscillationer
Stödda Funktioner
Denna kalkylator stöder vanliga matematiska funktioner:
- Grundläggande operationer: +, -, *, /, ^ (potens)
- Trigonometriska: sin(x), cos(x), tan(x)
- Exponentiell: exp(x), e^x
- Logaritmiska: log(x), ln(x)
- Övriga: sqrt(x), abs(x)
- Konstanter: pi, e
Vanliga frågor
- Hur många delintervall bör jag använda?
- Fler delintervall ger generellt bättre noggrannhet. Börja med 10-20 för en grov uppskattning och öka till 100+ för högre precision. Felet minskar när n² ökar.
- Vilka funktioner kan jag ange?
- Använd x som variabel. Stödda operationer inkluderar grundläggande aritmetik (+, -, *, /), potenser (^), trigonometriska funktioner (sin, cos, tan), sqrt, abs, log, ln, exp och konstanterna pi och e.
- Varför skiljer sig mitt resultat från den exakta integralen?
- Mittpunktsregeln ger en approximation. Skillnaden mellan approximationen och det exakta värdet kallas felet. Öka antalet delintervall för att minska detta fel.
- När bör jag använda mittpunktsregeln?
- Använd den när du behöver approximera integraler som är svåra eller omöjliga att lösa analytiskt, eller när du arbetar med experimentella datapunkter.