Multiplikativ Invers Modulo Kalkylator – Modulär Aritmetik
Hitta den modulära multiplikativa inversen av ett tal.
Hur man Använder
- Ange talet (a) vars invers du vill hitta
- Ange modulen (n)
- Klicka på beräkna för att hitta den multiplikativa inversen
- Inversen existerar endast om sgd(a, n) = 1
Vad är en Multiplikativ Invers Modulo?
Den multiplikativa inversen av ett tal 'a' modulo 'n' är ett tal 'x' så att (a × x) ≡ 1 (mod n). Med andra ord, när du multiplicerar 'a' med dess invers 'x' och dividerar med 'n', är resten 1.
Till exempel är den multiplikativa inversen av 3 modulo 7 lika med 5, eftersom 3 × 5 = 15 ≡ 1 (mod 7).
När Existerar Inversen?
Den multiplikativa inversen av 'a' modulo 'n' existerar om och endast om 'a' och 'n' är relativt prima, vilket betyder att deras största gemensamma delare (sgd) är 1.
- Om sgd(a, n) = 1, existerar inversen och är unik modulo n
- Om sgd(a, n) > 1, existerar ingen invers
- För primtalsmodul p har varje tal skilt från noll en invers
Utökad Euklidisk Algoritm
Denna kalkylator använder den Utökade Euklidiska Algoritmen för att hitta den multiplikativa inversen. Algoritmen hittar heltal x och y så att ax + ny = sgd(a, n). När sgd(a, n) = 1, är x den multiplikativa inversen.
Tillämpningar
Modulära multiplikativa inverser är väsentliga inom många områden:
- RSA-kryptering och -dekryptering
- Lösning av linjära kongruenser
- Kinesiska restsatsen
- Kryptografiska protokoll
- Felkorrigerande koder
Vanliga frågor
- Varför har mitt tal ingen invers?
- En multiplikativ invers modulo n existerar endast när talet och n är relativt prima (deras sgd är 1). Om de delar en gemensam faktor större än 1, existerar ingen invers.
- Hur används detta i RSA-kryptering?
- I RSA är den privata nyckeln d den multiplikativa inversen av den publika exponenten e modulo φ(n). Denna relation gör det möjligt att dekryptera meddelanden som krypterats med den publika nyckeln.
- Vad händer om mitt tal är negativt?
- Kalkylatorn hanterar negativa tal genom att först konvertera dem till deras positiva motsvarighet modulo n. Till exempel är -3 mod 7 = 4, så att hitta inversen av -3 mod 7 är samma som att hitta inversen av 4 mod 7.
- Är inversen alltid unik?
- Inversen är unik modulo n. Även om det finns oändligt många tal x som uppfyller (a × x) ≡ 1 (mod n), skiljer de sig alla med multiplar av n och är ekvivalenta i modulär aritmetik.