Newtons Metod Kalkylator – Rotsökningsalgoritm
Hitta rötter till funktioner med Newton-Raphson-iteration.
Innehållsförteckning
Hur man Använder
- Ange funktionen f(x) med x som variabel
- Ange derivatan f'(x) av funktionen
- Ge en initial gissning nära den förväntade roten
- Ställ in maximala iterationer och tolerans
- Klicka på beräkna för att se den iterativa approximationen
Vad är Newtons Metod?
Newtons metod, även känd som Newton-Raphson-metoden, är en kraftfull numerisk teknik för att hitta rötter till en funktion. Den använder idén att en kontinuerlig och deriverbar funktion kan approximeras av en rät linje som tangerar den.
Iterationsformeln är: xₙ₊₁ = xₙ - f(xₙ)/f'(xₙ), där f(x) är funktionen och f'(x) är dess derivata.
Hur Fungerar Det?
Med start från en initial gissning x₀ förbättrar metoden upprepade gånger approximationen:
- Utvärdera funktionen f(xₙ) vid den aktuella punkten
- Utvärdera derivatan f'(xₙ) vid den aktuella punkten
- Beräkna nästa approximation: xₙ₊₁ = xₙ - f(xₙ)/f'(xₙ)
- Upprepa tills förändringen är mindre än toleransen
Konvergensvillkor
Newtons metod konvergerar kvadratiskt när:
- Den initiala gissningen är tillräckligt nära roten
- Funktionen är kontinuerligt deriverbar
- Derivatan är skild från noll vid roten
- Funktionen har en enkel rot (multiplicitet 1)
Metoden kan misslyckas eller divergera om derivatan är noll, den initiala gissningen är dålig, eller funktionen har komplext beteende nära roten.
Tillämpningar
Newtons metod används ofta inom:
- Beräkning av kvadratrötter och n:te rötter
- Lösning av icke-linjära ekvationer
- Optimeringsproblem (hitta kritiska punkter)
- Datorgrafik och fysiksimulationer
- Finansiella beräkningar och ingenjörsvetenskap
Vanliga frågor
- Hur anger jag funktionen?
- Använd 'x' som variabel. Stödda operationer inkluderar: +, -, *, /, ^ (potens), sqrt, sin, cos, tan, log, exp. Till exempel 'x^3 - 2*x + 1' eller 'sin(x) - x/2'.
- Vad händer om metoden inte konvergerar?
- Prova en annan initial gissning närmare den förväntade roten, öka antalet iterationer, eller kontrollera om derivatan är noll nära din gissning. Vissa funktioner kan kräva speciell hantering.
- Varför måste jag ange derivatan?
- Newtons metod kräver derivatan för att beräkna tangentlinjen vid varje punkt. Formeln xₙ₊₁ = xₙ - f(xₙ)/f'(xₙ) använder derivatan för att bestämma riktning och stegstorlek.
- Vilken tolerans bör jag använda?
- En tolerans på 0.0001 (10⁻⁴) är lämplig för de flesta tillämpningar. För högre precision, använd mindre värden som 10⁻⁸. Toleransen bestämmer när iterationen stoppar baserat på förändringen mellan successiva approximationer.