Nollrum Kalkylator – Matriskärna Sökare
Hitta nollrummet och kärnan för vilken matris som helst.
Innehållsförteckning
Hur man Använder
- Ställ in antalet rader och kolumner för din matris
- Ange matrisvärdena i varje cell
- Klicka på beräkna för att hitta nollrummet
- Se basvektorerna, dimensionen och RREF
Vad är Nollrummet?
Nollrummet (eller kärnan) för en matris A är mängden av alla vektorer x så att Ax = 0. Det är ett delrum av definitionsmängden som avbildas på nollvektorn under den linjära avbildningen som representeras av A.
Nollrummet betecknas N(A) eller ker(A), och dess dimension kallas matrisens nullitet.
Hur Man Hittar Nollrummet
För att hitta nollrummet:
- Reducera matrisen till Reducerad Radechelonform (RREF)
- Identifiera pivotkolumner (ledande ettor) och fria kolumner
- Uttryck pivotvariabler i termer av fria variabler
- Skriv den allmänna lösningen som en linjärkombination av basvektorer
Rang-Nullitets-Satsen
Rang-Nullitets-Satsen säger att för en m×n matris A: rang(A) + nullitet(A) = n, där n är antalet kolumner.
- Rang = antal pivotkolumner = dimension av kolumnrummet
- Nullitet = antal fria variabler = dimension av nollrummet
- Om nullitet = 0, är den enda lösningen till Ax = 0 lika med x = 0
Tillämpningar
Nollrummet har många tillämpningar:
- Lösa homogena system av linjära ekvationer
- Hitta den allmänna lösningen till Ax = b
- Bestämma linjärt oberoende av vektorer
- Förstå linjära avbildningar
- Datorgrafik och datakomprimering
Vanliga frågor
- Vad betyder ett trivialt nollrum?
- Ett trivialt nollrum innehåller endast nollvektorn, vilket betyder nullitet = 0. Detta inträffar när matrisen har full kolumnrang, och den enda lösningen till Ax = 0 är x = 0.
- Hur är fria variabler relaterade till nollrummet?
- Fria variabler motsvarar icke-pivotkolumner i RREF. Varje fri variabel bidrar med en dimension till nollrummet, och antalet fria variabler är lika med nulliteten.
- Vad är skillnaden mellan nollrum och kolumnrum?
- Nollrummet är mängden vektorer x där Ax = 0 (i definitionsmängden). Kolumnrummet är mängden av alla möjliga utdata Ax (i värdemängden). De är ortogonala komplement i vissa sammanhang.
- Kan en kvadratisk matris ha ett icke-trivialt nollrum?
- Ja, om den kvadratiska matrisen är singulär (determinant = 0). Ett icke-trivialt nollrum betyder att matrisen inte är inverterbar och har linjärt beroende kolumner.