Ortogonal Projektion Kalkylator – Vektorprojektion
Beräkna projektionen av en vektor på en annan
Innehållsförteckning
Hur man Använder
- Ange x-, y- och z-komponenterna för vektor u (vektorn att projicera)
- Ange x-, y- och z-komponenterna för vektor v (vektorn att projicera på)
- Klicka på beräkna för att se projektionsresultatet
- Visa projektionsvektorn, magnituden och skalärprojektionen
Vad är Ortogonal Projektion?
Den ortogonala projektionen av vektor u på vektor v är komponenten av u som ligger i riktningen av v. Geometriskt är det skuggan som u skulle kasta på v om ljus sken vinkelrätt mot v.
Projektionsformeln är: proj_v(u) = (u · v / |v|²) × v, där u · v är skalärprodukten och |v| är magnituden av v.
Vektor- vs Skalärprojektion
- Vektorprojektion: Den faktiska vektorkomponenten av u i riktningen av v. Den har både magnitud och riktning.
- Skalärprojektion: Den signerade längden av projektionen. Positiv om u och v pekar i liknande riktningar, negativ om motsatta.
Skalärprojektionen beräknas som: comp_v(u) = u · v / |v|
Tillämpningar av Vektorprojektion
- Fysik: Nedbrytning av krafter i komponenter, arbetsberäkningar
- Datorgrafik: Skuggberäkningar, belysningsmodeller
- Maskininlärning: Feature-extraktion, dimensionalitetsreduktion
- Teknik: Strukturanalys, signalbehandling
- Navigation: Hitta avstånd längs en väg eller riktning
Egenskaper hos Ortogonal Projektion
- Idempotent: Att projicera en projektion ger samma resultat
- Linjär: proj(au + bw) = a·proj(u) + b·proj(w)
- Ortogonalt Komplement: u - proj_v(u) är vinkelrät mot v
- Magnitudgräns: |proj_v(u)| ≤ |u|
Vanliga frågor
- Vad är skillnaden mellan vektor- och skalärprojektion?
- Vektorprojektion ger dig en vektor i riktningen av v med lämplig längd. Skalärprojektion ger dig bara den signerade längden (ett tal) av den projektionen. Vektorprojektionen är lika med skalärprojektionen gånger enhetsvektorn i riktningen av v.
- Vad händer om jag projicerar på en nollvektor?
- Att projicera på en nollvektor är matematiskt odefinierat eftersom division med noll uppstår. Vår kalkylator returnerar en nollvektor i detta fall för att hantera gränsfallet elegant.
- Hur är projektion relaterad till skalärprodukten?
- Skalärprodukten u · v är lika med |u| |v| cos(θ), där θ är vinkeln mellan vektorerna. Skalärprojektionen är u · v / |v| = |u| cos(θ), vilket är komponenten av u i riktningen av v.
- Kan projektionen vara negativ?
- Skalärprojektionen kan vara negativ när vinkeln mellan vektorerna är större än 90°. Vektorprojektionen pekar i motsatt riktning mot v i detta fall.