Parallellepiped Volym Kalkylator – Skalär Trippelprodukt
Beräkna parallellepiped-volym från tre kantvektorer
Innehållsförteckning
Hur man Använder
- Ange x-, y- och z-komponenterna för vektor a (första kanten)
- Ange x-, y- och z-komponenterna för vektor b (andra kanten)
- Ange x-, y- och z-komponenterna för vektor c (tredje kanten)
- Klicka på beräkna för att se volymresultatet
Vad är en Parallellepiped?
En parallellepiped är en tredimensionell figur bildad av sex parallellogram. Det är 3D-analogen till ett parallellogram. När den definieras av tre vektorer a, b och c som utgår från ett gemensamt hörn, är volymen lika med absolutvärdet av den skalära trippelprodukten.
Volymformeln är: V = |a · (b × c)|, där b × c är kryssprodukten och a · (b × c) är skalärprodukten av a med det resultatet.
Den Skalära Trippelprodukten
Den skalära trippelprodukten a · (b × c) kan också beräknas som determinanten av en 3×3 matris med vektorerna a, b, c som rader (eller kolumner).
- Geometrisk betydelse: Den signerade volymen av parallellpipeden
- Tecken: Positivt om a, b, c bildar ett högerhänt system; negativt om vänsterhänt
- Nollresultat: Indikerar att de tre vektorerna är koplanära (ligger i samma plan)
Tillämpningar
- Kristallografi: Beräkning av enhetscellvolymer i kristallstrukturer
- Fysik: Beräkning av flöde och fältstorheter
- Teknik: Volymberäkningar i strukturanalys
- Datorgrafik: 3D-kollisionsdetektering och rumsliga beräkningar
- Linjär Algebra: Test av linjärt oberoende hos vektorer
Specialfall
- Rätblock: När vektorer är ömsesidigt vinkelräta, volym = |a| × |b| × |c|
- Kub: När alla tre vektorer har lika längd och är vinkelräta
- Degenererat fall: Volym = 0 när vektorer är koplanära
Vanliga frågor
- Vad är skillnaden mellan en parallellepiped och ett rätblock?
- Ett rätblock är ett specialfall av en parallellepiped där alla vinklar är 90 grader. En allmän parallellepiped kan ha ytor som är icke-rektangulära parallellogram med sneda vinklar.
- Varför kan den skalära trippelprodukten vara negativ?
- Tecknet indikerar orienteringen av de tre vektorerna. Ett positivt värde betyder att de bildar ett högerhänt koordinatsystem, medan negativt betyder vänsterhänt. För volym tar vi absolutvärdet eftersom volym alltid är positiv.
- Vad betyder det om volymen är noll?
- En nollvolym indikerar att de tre vektorerna är koplanära—de ligger alla i samma plan. Detta betyder att de inte spänner upp ett 3D-rum och inte kan bilda en riktig parallellepiped.
- Hur är detta relaterat till determinanten?
- Den skalära trippelprodukten är lika med determinanten av 3×3 matrisen bildad av de tre vektorerna. Denna koppling är fundamental i linjär algebra och förklarar varför determinanten mäter 'volymskalningen' av linjära transformationer.