Partiell Derivata Kalkylator – Flervariabelanalys
Beräkna partiella derivator av funktioner med flera variabler
Innehållsförteckning
Hur man Använder
- Ange din funktion med x, y, z som variabler (t.ex., x^2+y^2)
- Specificera vilken variabel att derivera med avseende på
- Ange valfritt punktkoordinater för att utvärdera derivatan
- Klicka på beräkna för att se den partiella derivatan och stegen
Vad är en Partiell Derivata?
En partiell derivata mäter hur en funktion förändras när en variabel förändras medan alla andra variabler hålls konstanta. För en funktion f(x, y) behandlar den partiella derivatan med avseende på x, skriven ∂f/∂x, y som en konstant.
Partiella derivator är grundläggande i flervariabelanalys och används för att analysera funktioner av flera variabler, hitta förändringshastigheter och optimera funktioner.
Notation och Symboler
- ∂f/∂x: Partiell derivata av f med avseende på x
- fₓ: Indexnotation för partiell derivata
- ∂²f/∂x∂y: Blandad partiell derivata
- ∇f: Gradient (vektor av alla partiella derivator)
Deriveringsregler
- Potensregeln: ∂/∂x(xⁿ) = n·xⁿ⁻¹
- Konstantregeln: ∂/∂x(c) = 0 för varje konstant c
- Summaregeln: ∂/∂x(f + g) = ∂f/∂x + ∂g/∂x
- Produktregeln: ∂/∂x(f·g) = f·∂g/∂x + g·∂f/∂x
- Kedjeregeln: ∂/∂x(f(g)) = f'(g)·∂g/∂x
Tillämpningar
- Optimering: Hitta maxima och minima för funktioner med flera variabler
- Maskininlärning: Gradientnedstigning för att träna neurala nätverk
- Fysik: Värmeekvationer, vågekvationer, fluiddynamik
- Ekonomi: Marginalanalys, nyttofunktioner
- Teknik: Spänningsanalys, styrsystem
Vanliga frågor
- Vad är skillnaden mellan partiella och vanliga derivator?
- En vanlig derivata gäller funktioner av en variabel. En partiell derivata gäller funktioner av flera variabler och mäter förändringen med avseende på en variabel medan de andra behandlas som konstanter.
- Vad är gradienten?
- Gradienten ∇f är en vektor som innehåller alla partiella derivator av en funktion. För f(x,y) är gradienten (∂f/∂x, ∂f/∂y). Den pekar i riktningen för brantaste ökning.
- Vad är blandade partiella derivator?
- Blandade partiella derivator innebär derivering med avseende på olika variabler i följd, som ∂²f/∂x∂y. Enligt Schwarz sats spelar ordningen vanligtvis ingen roll: ∂²f/∂x∂y = ∂²f/∂y∂x för de flesta funktioner.
- Hur används partiella derivator i maskininlärning?
- Partiella derivator är väsentliga för gradientnedstigning, algoritmen som används för att träna neurala nätverk. Gradienten talar om för oss hur vi ska justera varje parameter för att minimera förlustfunktionen.