Potensserier Kalkylator – Taylor- och Maclaurin-serier
Beräkna potensserieexpansioner för vanliga funktioner
Innehållsförteckning
Hur man Använder
- Välj funktionstyp (exponential, sinus, cosinus, ln eller geometrisk)
- Ange mittpunkten (0 för Maclaurin-serier)
- Ange antalet termer att beräkna
- Ange värdet vid vilket serien ska utvärderas
- Klicka på beräkna för att se serieexpansionen och approximationen
Vad är en Potensserie?
En potensserie är en oändlig serie av formen Σ aₙ(x-a)ⁿ, där aₙ är koefficienterna, x är variabeln och a är mittpunkten. Potensserier används för att representera funktioner som oändliga summor av polynomtermer.
När mittpunkten a = 0 kallas serien en Maclaurin-serie. När a ≠ 0 kallas den en Taylor-serie centrerad vid a.
Vanliga Potensserier
| Funktion | Potensserie | Konvergens |
|---|---|---|
| e^x | Σ xⁿ/n! | Alla reella x |
| sin(x) | Σ (-1)ⁿx^(2n+1)/(2n+1)! | Alla reella x |
| cos(x) | Σ (-1)ⁿx^(2n)/(2n)! | Alla reella x |
| ln(1+x) | Σ (-1)^(n+1)xⁿ/n | -1 < x ≤ 1 |
| 1/(1-x) | Σ xⁿ | |x| < 1 |
Taylor-serieformel
Taylor-serien för en funktion f(x) centrerad vid a är:
f(x) = Σ f⁽ⁿ⁾(a)/n! × (x-a)ⁿ för n = 0 till ∞
Där f⁽ⁿ⁾(a) är den n:te derivatan av f utvärderad vid x = a.
Konvergens och Radie
Varje potensserie har en konvergensradie R, som bestämmer var serien konvergerar:
- Serien konvergerar absolut för |x - a| < R
- Serien divergerar för |x - a| > R
- Vid |x - a| = R måste konvergens testas separat
- R kan hittas med kvottest eller rottest
Tillämpningar av Potensserier
- Approximera funktionsvärden
- Lösa differentialekvationer
- Utvärdera gränsvärden och integraler
- Numerisk analys och beräkning
- Fysik- och ingenjörsberäkningar
- Signalbehandling och Fourier-analys
- Datorgrafik och animation
Vanliga frågor
- Vad är skillnaden mellan Taylor- och Maclaurin-serier?
- En Maclaurin-serie är ett specialfall av en Taylor-serie där mittpunkten är 0. Taylor-serier kan centreras vid vilken punkt a som helst, medan Maclaurin-serier alltid är centrerade vid x = 0.
- Hur många termer behöver jag för en bra approximation?
- Det beror på funktionen och hur nära x är mittpunkten. Generellt ger fler termer bättre noggrannhet. För de flesta praktiska ändamål ger 5-10 termer bra approximationer nära centrum.
- Varför ger serien ibland felaktiga värden?
- Potensserier konvergerar endast inom sin konvergensradie. Till exempel konvergerar ln(1+x) endast för -1 < x ≤ 1, så utvärdering vid x = 2 kommer att ge felaktiga resultat.
- Kan jag använda potensserier för vilken funktion som helst?
- Inte alla funktioner har potensserierepresentationer. En funktion måste vara oändligt deriverbar vid mittpunkten för att ha en Taylor-serie. Vissa funktioner, som |x|, har inte potensserier vid vissa punkter.