QR-Faktorisering Kalkylator – Matrisfaktorisering
Faktorisera en matris till Q (ortogonal) och R (övre triangulär) matriser
Innehållsförteckning
Hur man Använder
- Ställ in matrisdimensionerna (rader och kolumner)
- Ange värdena för varje element i matrisen
- Klicka på beräkna för att utföra QR-faktorisering
- Se de resulterande Q- och R-matriserna
Vad är QR-Faktorisering?
QR-faktorisering (även kallad QR-dekomposition) är ett sätt att uttrycka en matris A som en produkt av två matriser: Q och R. Matris Q är en ortogonal matris (dess kolumner är ortonormala vektorer), och R är en övre triangulär matris.
Faktoriseringen skrivs som A = QR, där Q har ortonormala kolumner (Q^T Q = I) och R har nollor under sin huvuddiagonal.
Gram-Schmidt-Processen
Denna kalkylator använder Gram-Schmidt-ortogonaliseringsprocessen för att beräkna QR-faktoriseringen. Processen fungerar genom att:
- Ta varje kolumn av A i sekvens
- Subtrahera projektioner på tidigare beräknade ortonormala vektorer
- Normalisera resultatet till en enhetsvektor
- Registrera projektionskoefficienterna i matris R
Egenskaper hos Q och R
Matris Q (Ortogonal):
- Kolumner är ortonormala (vinkelräta enhetsvektorer)
- Q^T Q = I (enhetsmatris)
- Bevarar vektorlängder och vinklar
Matris R (Övre Triangulär):
- Alla element under huvuddiagonalen är noll
- Diagonalelement är normerna för de ortogonaliserade vektorerna
- Icke-diagonalelement är projektionskoefficienter
Tillämpningar av QR-Faktorisering
- Lösning av linjära minsta-kvadratproblem
- Beräkning av egenvärden (QR-algoritmen)
- Lösning av linjära ekvationssystem
- Signalbehandling och datakomprimering
- Maskininlärningsalgoritmer
Vanliga frågor
- Vad är skillnaden mellan QR- och LU-faktorisering?
- QR-faktorisering producerar en ortogonal matris Q och övre triangulär R, medan LU-faktorisering producerar en nedre triangulär L och övre triangulär U. QR är mer numeriskt stabil och föredras för minsta-kvadratproblem.
- Kan vilken matris som helst QR-faktoriseras?
- Vilken reell matris som helst med linjärt oberoende kolumner kan QR-faktoriseras. För matriser med linjärt beroende kolumner kan en modifierad version kallad QR med kolumnpivotering användas.
- Vad betyder det att Q är ortogonal?
- En ortogonal matris Q har egenskapen att Q^T Q = I (enhetsmatris). Detta betyder att dess kolumner är ömsesidigt vinkelräta enhetsvektorer, och multiplikation med Q bevarar längder och vinklar.
- Hur används QR-faktorisering i minsta kvadrater?
- För minsta-kvadratproblemet Ax ≈ b transformerar QR-faktorisering det till Rx = Q^T b, som är lätt att lösa genom bakåtsubstitution eftersom R är en övre triangulär matris.