Calculadora de Derivada Parcial – Cálculo Multivariable
Calcula derivadas parciales de funciones con múltiples variables
Tabla de Contenidos
Cómo Usar
- Ingresa tu función usando x, y, z como variables (ej., x^2+y^2)
- Especifica con respecto a qué variable derivar
- Opcionalmente ingresa coordenadas del punto para evaluar la derivada
- Haz clic en calcular para ver la derivada parcial y los pasos
¿Qué es una Derivada Parcial?
Una derivada parcial mide cómo cambia una función cuando una variable cambia mientras se mantienen constantes todas las demás variables. Para una función f(x, y), la derivada parcial con respecto a x, escrita ∂f/∂x, trata a y como constante.
Las derivadas parciales son fundamentales en el cálculo multivariable y se usan para analizar funciones de varias variables, encontrar tasas de cambio y optimizar funciones.
Notación y Símbolos
- ∂f/∂x: Derivada parcial de f con respecto a x
- fₓ: Notación de subíndice para derivada parcial
- ∂²f/∂x∂y: Derivada parcial mixta
- ∇f: Gradiente (vector de todas las derivadas parciales)
Reglas de Derivación
- Regla de la potencia: ∂/∂x(xⁿ) = n·xⁿ⁻¹
- Regla de la constante: ∂/∂x(c) = 0 para cualquier constante c
- Regla de la suma: ∂/∂x(f + g) = ∂f/∂x + ∂g/∂x
- Regla del producto: ∂/∂x(f·g) = f·∂g/∂x + g·∂f/∂x
- Regla de la cadena: ∂/∂x(f(g)) = f'(g)·∂g/∂x
Aplicaciones
- Optimización: Encontrar máximos y mínimos de funciones multivariables
- Aprendizaje Automático: Descenso de gradiente para entrenar redes neuronales
- Física: Ecuaciones de calor, ecuaciones de onda, dinámica de fluidos
- Economía: Análisis marginal, funciones de utilidad
- Ingeniería: Análisis de esfuerzos, sistemas de control
Preguntas frecuentes
- ¿Cuál es la diferencia entre derivadas parciales y ordinarias?
- Una derivada ordinaria se aplica a funciones de una variable. Una derivada parcial se aplica a funciones de múltiples variables y mide el cambio con respecto a una variable mientras trata a las otras como constantes.
- ¿Qué es el gradiente?
- El gradiente ∇f es un vector que contiene todas las derivadas parciales de una función. Para f(x,y), el gradiente es (∂f/∂x, ∂f/∂y). Apunta en la dirección de mayor incremento.
- ¿Qué son las derivadas parciales mixtas?
- Las derivadas parciales mixtas involucran derivar con respecto a diferentes variables en secuencia, como ∂²f/∂x∂y. Por el teorema de Clairaut, el orden usualmente no importa: ∂²f/∂x∂y = ∂²f/∂y∂x para la mayoría de las funciones.
- ¿Cómo se usan las derivadas parciales en aprendizaje automático?
- Las derivadas parciales son esenciales para el descenso de gradiente, el algoritmo usado para entrenar redes neuronales. El gradiente nos dice cómo ajustar cada parámetro para minimizar la función de pérdida.