Calculadora de Descomposición LU – Factorizar Matrices en L y U
Descompone matrices en factores triangulares inferior y superior
Cómo Usar
- Selecciona el tamaño de la matriz (2x2 o 3x3)
- Ingresa los elementos de la matriz
- Haz clic en calcular para ver la descomposición LU
- Revisa las matrices L y U con verificación
¿Qué es la Descomposición LU?
La descomposición LU (también llamada factorización LU) es un método de factorizar una matriz A en el producto de una matriz triangular inferior L y una matriz triangular superior U, tal que A = LU. La matriz triangular inferior tiene todos ceros arriba de la diagonal, mientras que la matriz triangular superior tiene todos ceros debajo de la diagonal.
Esta descomposición es fundamental en álgebra lineal numérica y se usa extensivamente para resolver sistemas de ecuaciones lineales, calcular determinantes y encontrar inversas de matrices eficientemente.
Aplicaciones de la Descomposición LU
- Resolver sistemas de ecuaciones lineales (Ax = b)
- Calcular determinantes de matrices eficientemente
- Encontrar inversas de matrices
- Estabilidad numérica en algoritmos computacionales
- Simulaciones de ingeniería y física
Método de Doolittle
Esta calculadora usa el algoritmo de Doolittle, que establece los elementos diagonales de L en 1. El algoritmo calcula sistemáticamente los elementos de U fila por fila y L columna por columna, asegurando que A = LU.
Preguntas frecuentes
- ¿Qué significa si la descomposición LU falla?
- La descomposición LU sin pivoteo falla cuando se encuentra un pivote cero, lo que significa que la matriz es singular o la descomposición requiere intercambios de filas. En tales casos, se debe usar la descomposición LU con pivoteo parcial (PA = LU).
- ¿Por qué es útil la descomposición LU?
- Una vez que una matriz se descompone en L y U, resolver sistemas de ecuaciones se vuelve mucho más rápido. En lugar de resolver Ax = b directamente, resuelves Ly = b (sustitución hacia adelante) y luego Ux = y (sustitución hacia atrás), lo cual es computacionalmente eficiente.
- ¿Cuál es la diferencia entre las matrices L y U?
- L (Triangular inferior) tiene elementos no nulos solo en y debajo de la diagonal principal, con 1s en la diagonal en el método de Doolittle. U (Triangular superior) tiene elementos no nulos solo en y arriba de la diagonal principal.