Calculadora de Descomposición QR – Factorización de Matrices
Descompone una matriz en matrices Q (ortogonal) y R (triangular superior)
Tabla de Contenidos
Cómo Usar
- Establece las dimensiones de la matriz (filas y columnas)
- Ingresa los valores para cada elemento de la matriz
- Haz clic en calcular para realizar la descomposición QR
- Visualiza las matrices Q y R resultantes
¿Qué es la Descomposición QR?
La descomposición QR (también llamada factorización QR) es una forma de expresar una matriz A como producto de dos matrices: Q y R. La matriz Q es una matriz ortogonal (sus columnas son vectores ortonormales), y R es una matriz triangular superior.
La descomposición se escribe como A = QR, donde Q tiene columnas ortonormales (Q^T Q = I) y R tiene ceros debajo de su diagonal principal.
El Proceso de Gram-Schmidt
Esta calculadora usa el proceso de ortogonalización de Gram-Schmidt para calcular la descomposición QR. El proceso funciona:
- Tomando cada columna de A en secuencia
- Restando proyecciones sobre vectores ortonormales previamente calculados
- Normalizando el resultado para obtener un vector unitario
- Registrando los coeficientes de proyección en la matriz R
Propiedades de Q y R
Matriz Q (Ortogonal):
- Las columnas son ortonormales (vectores unitarios perpendiculares)
- Q^T Q = I (matriz identidad)
- Preserva longitudes de vectores y ángulos
Matriz R (Triangular Superior):
- Todas las entradas debajo de la diagonal principal son cero
- Las entradas diagonales son las normas de los vectores ortogonalizados
- Las entradas fuera de la diagonal son coeficientes de proyección
Aplicaciones de la Descomposición QR
- Resolver problemas de mínimos cuadrados lineales
- Calcular valores propios (algoritmo QR)
- Resolver sistemas de ecuaciones lineales
- Procesamiento de señales y compresión de datos
- Algoritmos de aprendizaje automático
Preguntas frecuentes
- ¿Cuál es la diferencia entre la descomposición QR y LU?
- La descomposición QR produce una matriz ortogonal Q y triangular superior R, mientras que la descomposición LU produce una triangular inferior L y triangular superior U. QR es más estable numéricamente y se prefiere para problemas de mínimos cuadrados.
- ¿Se puede descomponer cualquier matriz en QR?
- Cualquier matriz real con columnas linealmente independientes puede descomponerse en QR. Para matrices con columnas linealmente dependientes, se puede usar una versión modificada llamada QR con pivoteo de columnas.
- ¿Qué significa que Q sea ortogonal?
- Una matriz ortogonal Q tiene la propiedad de que Q^T Q = I (matriz identidad). Esto significa que sus columnas son vectores unitarios mutuamente perpendiculares, y multiplicar por Q preserva longitudes y ángulos.
- ¿Cómo se usa la descomposición QR en mínimos cuadrados?
- Para el problema de mínimos cuadrados Ax ≈ b, la descomposición QR lo transforma en Rx = Q^T b, que es fácil de resolver por sustitución hacia atrás ya que R es triangular superior.