Calculadora de Discriminante
Calcula el discriminante y las raíces de ecuaciones cuadráticas
Cómo Usar
- Ingresa el coeficiente 'a' (el coeficiente de x²)
- Ingresa el coeficiente 'b' (el coeficiente de x)
- Ingresa el coeficiente 'c' (el término constante)
- Revisa el tipo de raíces según el discriminante
Calcula el discriminante y las raíces de ecuaciones cuadráticas
Calcula el discriminante de una ecuación cuadrática y encuentra sus raíces. Método: Δ = b² − 4ac; x = (−b ± √Δ)/(2a), a ≠ 0. El signo de Δ clasifica raíces reales, repetidas o complejas.
El discriminante nos dice si las raíces son reales o complejas, y si son distintas o repetidas, sin necesidad de resolver la ecuación.
Interpretando el Discriminante
| Valor del Discriminante | Tipo de Raíces | Comportamiento Gráfico |
|---|---|---|
| Δ > 0 | Dos raíces reales distintas | La parábola cruza el eje x en dos puntos |
| Δ = 0 | Una raíz real repetida | La parábola toca el eje x en un punto (vértice) |
| Δ < 0 | Dos raíces complejas conjugadas | La parábola no cruza el eje x |
La Fórmula Cuadrática
Una vez que conoces el discriminante, puedes encontrar las raíces usando la fórmula cuadrática:
x = (-b ± √Δ) / (2a)
Donde:
- x representa las raíces de la ecuación
- a, b, c son los coeficientes de ax² + bx + c = 0
- Δ es el discriminante (b² - 4ac)
- ± significa que hay dos soluciones (a menos que Δ = 0)
Entendiendo las Raíces Complejas
Cuando el discriminante es negativo, las raíces son números complejos. Las raíces complejas siempre vienen en pares conjugados: a + bi y a - bi.
Por ejemplo, si Δ = -16, entonces √Δ = 4i, donde i es la unidad imaginaria (i² = -1). Las raíces se calcularían como x = (-b ± 4i) / (2a).
Caso resuelto
- Gráfica cuadrática: x²−3x+2=0 → Δ=1; x=1,2.
Método, ejemplo, redondeo y límites
Método: Δ = b² − 4ac; x = (−b ± √Δ)/(2a), a ≠ 0. El signo de Δ clasifica raíces reales, repetidas o complejas.
Ejemplo resuelto: a=1, b=−3, c=2 → Δ=1, x₁=2, x₂=1; a=1, b=0, c=1 → Δ=−4, x=±i.
Redondeo: Las componentes de las raíces usan seis cifras significativas; esta es la precisión de presentación, no una exactitud garantizada. Los coeficientes y el discriminante conservan su precisión calculada.
Límite: Las raíces son aproximaciones numéricas. Si el valor calculado |Δ| ≤ 2 × ε × max(|b²|, |4ac|), con ε = Number.EPSILON ≈ 2.22 × 10⁻¹⁶, se trata como cero y se informa una raíz repetida. Cerca de este umbral, la clasificación no demuestra exactamente el número de raíces. Se rechazan cálculos no finitos.
Referencia: OpenStax. https://openstax.org/books/college-algebra-2e/pages/2-5-quadratic-equations Goldberg, Oracle: https://docs.oracle.com/cd/E19957-01/806-3568/ncg_goldberg.html
Preguntas frecuentes
- ¿Qué significa un discriminante de cero?
- Un discriminante de cero significa que la ecuación cuadrática tiene exactamente una raíz real (una raíz repetida). Gráficamente, esto significa que la parábola solo toca el eje x en su vértice.
- ¿Puede el discriminante ser negativo?
- Sí, un discriminante negativo significa que la ecuación cuadrática tiene dos raíces complejas conjugadas. La parábola no cruza el eje x en este caso.
- ¿Por qué el coeficiente 'a' debe ser distinto de cero?
- Si a = 0, la ecuación se convierte en bx + c = 0, que es lineal, no cuadrática. El discriminante está específicamente definido para ecuaciones cuadráticas donde la potencia más alta es x².
- ¿Cómo se usa el discriminante en la fórmula cuadrática?
- El discriminante aparece bajo la raíz cuadrada en la fórmula cuadrática: x = (-b ± √Δ) / (2a). Su valor determina si estamos tomando la raíz cuadrada de un número positivo, cero o negativo, lo que afecta la naturaleza de las raíces.