Calculadora de Divergencia – Divergencia de Campo Vectorial
Calcula la divergencia de un campo vectorial 3D
Cómo Usar
- Introduce los coeficientes para el componente P (coeficiente de x, y, z)
- Introduce los coeficientes para el componente Q (coeficiente de x, y, z)
- Introduce los coeficientes para el componente R (coeficiente de x, y, z)
- Introduce el punto (x, y, z) donde quieres evaluar la divergencia
- Haz clic en calcular para ver el resultado de la divergencia
¿Qué es la Divergencia?
La divergencia es un operador vectorial que mide la magnitud de una fuente o sumidero de un campo vectorial en un punto dado. En otras palabras, te dice cuánto se está 'expandiendo' o 'convergiendo' un campo vectorial en ese punto.
Para un campo vectorial 3D F(x,y,z) = (P, Q, R), la divergencia se define como: div F = ∂P/∂x + ∂Q/∂y + ∂R/∂z
Interpretación Física
La divergencia tiene interpretaciones físicas importantes:
- Divergencia positiva: El campo actúa como una fuente (fluido fluyendo hacia afuera)
- Divergencia negativa: El campo actúa como un sumidero (fluido fluyendo hacia adentro)
- Divergencia cero: El campo es incompresible (el volumen se conserva)
- En dinámica de fluidos: la divergencia mide la tasa de expansión o compresión
- En electromagnetismo: la divergencia se relaciona con la densidad de carga (ley de Gauss)
Cómo Calcular la Divergencia
Para calcular la divergencia de un campo vectorial F = (P, Q, R):
- Toma la derivada parcial de P con respecto a x: ∂P/∂x
- Toma la derivada parcial de Q con respecto a y: ∂Q/∂y
- Toma la derivada parcial de R con respecto a z: ∂R/∂z
- Suma estas tres derivadas parciales: div F = ∂P/∂x + ∂Q/∂y + ∂R/∂z
Por ejemplo, si F(x,y,z) = (2x, 3y, 4z), entonces div F = 2 + 3 + 4 = 9.
Aplicaciones de la Divergencia
- Dinámica de fluidos: modelado de flujo incompresible
- Electromagnetismo: ley de Gauss y ecuaciones de Maxwell
- Transferencia de calor: análisis de flujo de calor y distribución de temperatura
- Gráficos por computadora: simulación de fluidos y efectos de humo
- Modelado meteorológico: análisis de sistemas de presión atmosférica
- Ingeniería: análisis de esfuerzos y deformación de materiales
El Teorema de la Divergencia
El teorema de la divergencia (también llamado teorema de Gauss) relaciona el flujo de un campo vectorial a través de una superficie cerrada con la divergencia del campo en el volumen encerrado por la superficie:
∫∫∫ (div F) dV = ∫∫ F · n dS
Este teorema es fundamental en física e ingeniería, conectando propiedades locales (divergencia) con propiedades globales (flujo a través de una frontera).
Preguntas frecuentes
- ¿Qué significa una divergencia positiva?
- Una divergencia positiva significa que el campo vectorial actúa como una fuente en ese punto - los vectores del campo apuntan hacia afuera, como un fluido que fluye desde una fuente. La magnitud te indica cuán fuerte es la fuente.
- ¿Cuál es la diferencia entre divergencia y rotacional?
- La divergencia mide cuánto se expande o converge un campo vectorial (produciendo un escalar), mientras que el rotacional mide cuánto rota (produciendo un vector). La divergencia usa la notación ∇·F, el rotacional usa ∇×F.
- ¿Puede ser negativa la divergencia?
- Sí, la divergencia negativa indica que el campo actúa como un sumidero - los vectores apuntan hacia adentro hacia ese punto. Por ejemplo, un desagüe en un flujo de fluido tendría divergencia negativa.
- ¿Qué significa una divergencia cero?
- Una divergencia cero significa que el campo es incompresible o libre de divergencia en ese punto. La cantidad de campo que fluye hacia cualquier volumen pequeño es igual a la cantidad que sale. Esto es importante para modelar fluidos incompresibles y campos magnéticos.