Calculadora de Espacio Nulo – Buscador del Núcleo de Matriz
Encuentra el espacio nulo y núcleo de cualquier matriz.
Tabla de Contenidos
Cómo Usar
- Establece el número de filas y columnas para tu matriz
- Ingresa los valores de la matriz en cada celda
- Haz clic en calcular para encontrar el espacio nulo
- Ve los vectores base, dimensión y RREF
¿Qué es el Espacio Nulo?
El espacio nulo (o núcleo) de una matriz A es el conjunto de todos los vectores x tales que Ax = 0. Es un subespacio del dominio que se mapea al vector cero bajo la transformación lineal representada por A.
El espacio nulo se denota como N(A) o ker(A), y su dimensión se llama la nulidad de la matriz.
Cómo Encontrar el Espacio Nulo
Para encontrar el espacio nulo:
- Reduce la matriz a Forma Escalonada Reducida por Filas (RREF)
- Identifica columnas pivote (1s principales) y columnas libres
- Expresa variables pivote en términos de variables libres
- Escribe la solución general como combinación lineal de vectores base
Teorema Rango-Nulidad
El Teorema Rango-Nulidad establece que para una matriz m×n A: rango(A) + nulidad(A) = n, donde n es el número de columnas.
- Rango = número de columnas pivote = dimensión del espacio columna
- Nulidad = número de variables libres = dimensión del espacio nulo
- Si nulidad = 0, la única solución de Ax = 0 es x = 0
Aplicaciones
El espacio nulo tiene muchas aplicaciones:
- Resolver sistemas homogéneos de ecuaciones lineales
- Encontrar la solución general de Ax = b
- Determinar independencia lineal de vectores
- Entender transformaciones lineales
- Gráficos por computadora y compresión de datos
Preguntas frecuentes
- ¿Qué significa un espacio nulo trivial?
- Un espacio nulo trivial contiene solo el vector cero, lo que significa nulidad = 0. Esto ocurre cuando la matriz tiene rango columna completo, y la única solución de Ax = 0 es x = 0.
- ¿Cómo se relacionan las variables libres con el espacio nulo?
- Las variables libres corresponden a columnas no pivote en el RREF. Cada variable libre contribuye una dimensión al espacio nulo, y el número de variables libres es igual a la nulidad.
- ¿Cuál es la diferencia entre espacio nulo y espacio columna?
- El espacio nulo es el conjunto de vectores x donde Ax = 0 (en el dominio). El espacio columna es el conjunto de todas las salidas posibles Ax (en el codominio). Son complementos ortogonales en ciertos contextos.
- ¿Puede una matriz cuadrada tener un espacio nulo no trivial?
- Sí, si la matriz cuadrada es singular (determinante = 0). Un espacio nulo no trivial significa que la matriz no es invertible y tiene columnas linealmente dependientes.