Calculadora de Independencia Lineal – Verificar Independencia de Vectores
Verifica si los vectores son linealmente independientes o dependientes.
Tabla de Contenidos
Cómo Usar
- Ingresa cada vector en una línea separada con componentes separados por comas o espacios
- Por ejemplo: 1, 2, 3 en una línea y 4, 5, 6 en la siguiente
- Haz clic en calcular para determinar si los vectores son linealmente independientes
- Revisa el rango, determinante (para matrices cuadradas) y RREF
¿Qué es la Independencia Lineal?
Un conjunto de vectores es linealmente independiente si ningún vector del conjunto puede escribirse como una combinación lineal de los otros. Equivalentemente, la única solución a c₁v₁ + c₂v₂ + ... + cₙvₙ = 0 es cuando todos los coeficientes c₁, c₂, ..., cₙ son cero.
Si existe al menos una combinación no trivial (algunos coeficientes son distintos de cero), los vectores son linealmente dependientes.
Cómo Verificar la Independencia Lineal
- Forma una matriz con los vectores como filas (o columnas)
- Aplica eliminación gaussiana para reducir a forma escalonada
- Cuenta el número de filas no nulas (el rango)
- Si el rango es igual al número de vectores, son linealmente independientes
Para matrices cuadradas, también puedes verificar el determinante: si det ≠ 0, los vectores son independientes.
Aplicaciones de la Independencia Lineal
- Encontrar bases para espacios vectoriales
- Resolver sistemas de ecuaciones lineales
- Determinar si una transformación es invertible
- Procesamiento de señales y compresión de datos
- Selección de características en aprendizaje automático
Preguntas frecuentes
- ¿Qué significa si los vectores son linealmente dependientes?
- Los vectores linealmente dependientes contienen redundancia—al menos un vector puede expresarse como una combinación de los otros. Esto significa que no abarcan tantas dimensiones como vectores hay.
- ¿Pueden más vectores que la dimensión ser independientes?
- No. En un espacio n-dimensional, como máximo n vectores pueden ser linealmente independientes. Cualquier conjunto con más de n vectores debe ser dependiente.
- ¿Cuál es la relación entre rango e independencia?
- El rango de una matriz es igual al número máximo de filas (o columnas) linealmente independientes. Si tienes k vectores y el rango es k, todos los vectores son independientes.