Calculadora del Método de Newton – Algoritmo de Búsqueda de Raíces
Encuentra raíces de funciones usando iteración Newton-Raphson.
Cómo Usar
- Ingresa la función f(x) usando x como variable
- Ingresa la derivada f'(x) de la función
- Proporciona una estimación inicial cercana a la raíz esperada
- Establece las iteraciones máximas y la tolerancia
- Haz clic en calcular para ver la aproximación iterativa
¿Qué es el Método de Newton?
El Método de Newton, también conocido como método de Newton-Raphson, es una técnica numérica poderosa para encontrar raíces de una función. Usa la idea de que una función continua y diferenciable puede ser aproximada por una línea recta tangente a ella.
La fórmula de iteración es: xₙ₊₁ = xₙ - f(xₙ)/f'(xₙ), donde f(x) es la función y f'(x) es su derivada.
¿Cómo Funciona?
Comenzando desde una estimación inicial x₀, el método mejora repetidamente la aproximación:
- Evalúa la función f(xₙ) en el punto actual
- Evalúa la derivada f'(xₙ) en el punto actual
- Calcula la siguiente aproximación: xₙ₊₁ = xₙ - f(xₙ)/f'(xₙ)
- Repite hasta que el cambio sea menor que la tolerancia
Condiciones de Convergencia
El Método de Newton converge cuadráticamente cuando:
- La estimación inicial está suficientemente cerca de la raíz
- La función es continuamente diferenciable
- La derivada es distinta de cero en la raíz
- La función tiene una raíz simple (multiplicidad 1)
El método puede fallar o divergir si la derivada es cero, la estimación inicial es pobre, o la función tiene comportamiento complejo cerca de la raíz.
Aplicaciones
El Método de Newton se usa ampliamente en:
- Encontrar raíces cuadradas y raíces n-ésimas
- Resolver ecuaciones no lineales
- Problemas de optimización (encontrar puntos críticos)
- Gráficos por computadora y simulaciones físicas
- Cálculos financieros e ingeniería
Preguntas frecuentes
- ¿Cómo ingreso la función?
- Usa 'x' como variable. Las operaciones soportadas incluyen: +, -, *, /, ^ (potencia), sqrt, sin, cos, tan, log, exp. Por ejemplo, 'x^3 - 2*x + 1' o 'sin(x) - x/2'.
- ¿Qué pasa si el método no converge?
- Intenta una estimación inicial diferente más cercana a la raíz esperada, aumenta el número de iteraciones, o verifica si la derivada es cero cerca de tu estimación. Algunas funciones pueden requerir manejo especial.
- ¿Por qué necesito ingresar la derivada?
- El Método de Newton requiere la derivada para calcular la línea tangente en cada punto. La fórmula xₙ₊₁ = xₙ - f(xₙ)/f'(xₙ) usa la derivada para determinar la dirección y el tamaño del paso.
- ¿Qué tolerancia debo usar?
- Una tolerancia de 0.0001 (10⁻⁴) es adecuada para la mayoría de aplicaciones. Para mayor precisión, usa valores más pequeños como 10⁻⁸. La tolerancia determina cuándo se detiene la iteración basándose en el cambio entre aproximaciones sucesivas.