Calculadora de multiplicadores de Lagrange
Optimiza un objetivo cuadrático con una restricción lineal.
Tabla de Contenidos
Cómo Usar
- Ingresa los coeficientes cuadráticos a, b, c para f(x, y) = ax^2 + by^2 + cxy.
- Define la restricción lineal d·x + e·y = k.
- Ejecuta el cálculo para resolver el sistema de Lagrange para x, y y λ.
- Revisa el punto optimizado y el valor del objetivo en la recta de restricción.
Cómo funciona el método de Lagrange
Los multiplicadores de Lagrange incorporan la restricción en el objetivo sumando λ por la ecuación de la restricción. Los puntos estacionarios satisfacen simultáneamente las ecuaciones de gradiente y la restricción.
- Forma el lagrangiano L = f(x, y) + λ(d x + e y - k).
- Iguala a cero las derivadas parciales ∂L/∂x, ∂L/∂y y la restricción.
- Resuelve el sistema lineal resultante para x, y y λ.
- Evalúa el objetivo en el punto estacionario para clasificar el rendimiento en la restricción.
Supuestos del modelo en esta calculadora
- El objetivo es cuadrático en x e y: ax^2 + by^2 + cxy.
- Hay una única restricción de igualdad lineal d·x + e·y = k.
- Existe un punto estacionario único cuando el sistema lineal es resoluble.
- Si el determinante es cero, el método no proporciona una solución única.
Usa esta configuración para intuición rápida sobre cuadráticas con restricciones. Objetivos más complejos o múltiples restricciones requieren un solucionador simbólico completo.
Preguntas frecuentes
- ¿Qué pasa si d y e son ambos cero?
- La restricción se vuelve degenerada y no limita el objetivo. Ingresa al menos un coeficiente distinto de cero en la restricción para hallar un punto estacionario válido.
- ¿Cómo sé si este punto es mínimo o máximo?
- La herramienta devuelve el punto estacionario sobre la restricción. Para clasificarlo, revisa la forma cuadrática (por ejemplo, con los valores propios de la Hessiana) o prueba puntos factibles cercanos.
- ¿Puedo extender esto a más variables?
- El método se generaliza, pero esta calculadora se centra en dos variables con una restricción lineal por claridad. Para sistemas mayores, aplica las mismas ecuaciones de gradiente y restricciones con multiplicadores adicionales.